11. Deseja-se estabelecer um polinômio que verifica a medida da superfície da sala de uma residência, de formato retangular, com as seguintes dimensões:

a) Determine o polinômio que representa a área do piso dessa sala.
b) Sabendo que a área dessa sala é igual a 24 metros quadrados, calcule suas dimensões.
c) Determine-se polinômio que representa o perímetro do piso dessa sala.
d) Qual é o perímetro dessa sala?

Question

11. Deseja-se estabelecer um polinômio que verifica a medida da superfície da sala de uma residência, de formato retangular, com as seguintes dimensões:

a) Determine o polinômio que representa a área do piso dessa sala.
b) Sabendo que a área dessa sala é igual a 24 metros quadrados, calcule suas dimensões.
c) Determine-se polinômio que representa o perímetro do piso dessa sala.
d) Qual é o perímetro dessa sala?

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos analisar cada item:

a) **Determine o polinômio que representa a área do piso dessa sala.**

A área de um retângulo é dada pelo produto de seu comprimento pela largura. As dimensões dadas são $2x - 6$ e $x - 4$.

$$
\text{Área} = (2x - 6)(x - 4)
$$

Multiplicando os termos:

$$
\text{Área} = 2x(x) - 2x(4) - 6(x) + 6(4)
$$
$$
\text{Área} = 2x^2 - 8x - 6x + 24
$$
$$
\text{Área} = 2x^2 - 14x + 24
$$

b) **Sabendo que a área dessa sala é igual a 24 metros quadrados, calcule suas dimensões.**

Igualamos o polinômio da área a 24:

$$
2x^2 - 14x + 24 = 24
$$

Subtraindo 24 de ambos os lados:

$$
2x^2 - 14x + 0 = 0
$$

Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

$$
x^2 - 7x = 0
$$

Fatorando:

$$
x(x - 7) = 0
$$

As soluções são $x = 0$ ou $x = 7$. Como $x = 0$ não faz sentido no contexto, temos $x = 7$.

Agora, substituímos $x = 7$ nas expressões das dimensões:

Comprimento: $2x - 6 = 2(7) - 6 = 14 - 6 = 8$

Largura: $x - 4 = 7 - 4 = 3$

c) **Determine o polinômio que representa o perímetro do piso dessa sala.**

O perímetro de um retângulo é dado por $2 \times (\text{comprimento} + \text{largura})$.

$$
\text{Perímetro} = 2[(2x - 6) + (x - 4)]
$$

Simplificando:

$$
\text{Perímetro} = 2[3x - 10]
$$
$$
\text{Perímetro} = 6x - 20
$$

d) **Qual é o perímetro dessa sala?**

Substituindo $x = 7$ no polinômio do perímetro:

$$
\text{Perímetro} = 6(7) - 20 = 42 - 20 = 22
$$

Portanto, o perímetro da sala é 22 metros.

11. Deseja-se estabelecer um polinômio que verifica a medida...

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