11- (FUVEST) Duas retas set do plano cartesiano se interseptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3).

A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas seté:

a.2

b.3

c.4

d.5

e.6

Question

11- (FUVEST) Duas retas set do plano cartesiano se interseptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3).

A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas seté:

a.2

b.3

c.4

d.5

e.6

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos determinar as equações das retas $s$ e $t$.

1. **Reta $s$:**

Sabemos que a reta $s$ intercepta o eixo dos $y$ no ponto $(0,3)$, então sua equação é da forma $y = mx + 3$.

Como a reta $s$ passa pelo ponto $(2,2)$, podemos substituir esses valores na equação para encontrar $m$:

$$
   2 = 2m + 3
   $$

$$
   2m = 2 - 3
   $$

$$
   2m = -1
   $$

$$
   m = -\frac{1}{2}
   $$

Então a equação da reta $s$ é $y = -\frac{1}{2}x + 3$.

2. **Reta $t$:**

O produto dos coeficientes angulares das retas $s$ e $t$ é 1. Como já sabemos que o coeficiente angular de $s$ é $-\frac{1}{2}$, o coeficiente angular de $t$ deve ser:

$$
   m_t \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1
   $$

$$
   m_t = -2
   $$

A reta $t$ também passa pelo ponto $(2,2)$, então sua equação é:

$$
   y = -2x + b
   $$

Substituímos o ponto $(2,2)$ na equação para encontrar $b$:

$$
   2 = -2(2) + b
   $$

$$
   2 = -4 + b
   $$

$$
   b = 6
   $$

Assim, a equação da reta $t$ é $y = -2x + 6$.

3. **Interseções com o eixo $x$:**

Para encontrar a interseção da reta $s$ com o eixo $x$, fazemos $y = 0$:

$$
   0 = -\frac{1}{2}x + 3
   $$

$$
   \frac{1}{2}x = 3
   $$

$$
   x = 6
   $$

Então, a interseção da reta $s$ com o eixo $x$ é $(6,0)$.

Para a reta $t$:

$$
   0 = -2x + 6
   $$

$$
   2x = 6
   $$

$$
   x = 3
   $$

Então, a interseção da reta $t$ com o eixo $x$ é $(3,0)$.

4. **Área do triângulo:**

O triângulo é formado pelos pontos $(0,0)$, $(6,0)$ e $(3,0)$.

A base do triângulo é a distância entre $(6,0)$ e $(3,0)$, que é $6 - 3 = 3$.

A altura do triângulo é a diferença em $y$ entre o ponto de interseção $(2,2)$ e o eixo $x$, que é $2$.

A área do triângulo é dada por:

$$
   \text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3
   $$

**Resposta: b. 3**

11- (FUVEST) Duas retas set do plano cartesiano se intersept...

11- (FUVEST) Duas retas set do plano cartesiano se interseptam no ponto (2,2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,3).

A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas seté:

a.2

b.3

c.4

d.5

e.6

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