11 Mackenzie-SP Um míssil AX100 é lançado obliquamente, com velocidade de $ 800 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $, formando um ângulo de $ 30,0^{\circ} $ com a direção horizontal. No mesmo instante, de um ponto situado a $ 12,0 \mathrm{~km} $ do ponto de lançamento do míssil, no mesmo plano horizontal, é lançado um projétil caça missil, verticalmente para cima, com o objetivo de interceptar o míssil AX100. A velocidade inicial de lançamento do projétil caça míssil, para ocorrer a interceptação desejada, é de
a) $ 960 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $
b) $ 480 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $
c) $ 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $
d) $ 500 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $
e) $ 900 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos calcular a velocidade inicial do projétil caça míssil de forma que ele intercepte o míssil AX100. Vamos considerar os movimentos dos dois objetos.

1. **Movimento do míssil AX100:**
   - Velocidade inicial ($v_0$) = $800 \, \mathrm{m/s}$
   - Ângulo de lançamento ($\theta$) = $30,0^\circ$

As componentes da velocidade inicial são:
   - $v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 800 \cos(30^\circ) = 800 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 400\sqrt{3} \, \mathrm{m/s}$
   - $v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 800 \sin(30^\circ) = 800 \cdot \frac{1}{2} = 400 \, \mathrm{m/s}$

2. **Movimento horizontal do míssil AX100:**
   - A distância horizontal que o míssil percorre é $12 \, \mathrm{km} = 12000 \, \mathrm{m}$.

O tempo ($t$) para percorrer essa distância é:
   $$
   t = \frac{\text{distância}}{\text{velocidade horizontal}} = \frac{12000 \, \mathrm{m}}{400\sqrt{3} \, \mathrm{m/s}} = \frac{12000}{400\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \, \mathrm{s}
   $$

3. **Movimento vertical do míssil AX100:**
   - A posição vertical ($y$) após $t$ segundos é dada por:
   $$
   y = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2
   $$
   onde $g = 9,8 \, \mathrm{m/s^2}$.

Substituindo $v_{0y}$ e $t$:
   $$
   y = 400 \cdot 10\sqrt{3} - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot (10\sqrt{3})^2
   $$
   $$
   y = 4000\sqrt{3} - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 300
   $$
   $$
   y = 4000\sqrt{3} - 1470
   $$

4. **Movimento do projétil caça míssil:**
   - Para interceptar o míssil AX100, o projétil deve atingir a mesma altura $y$ no mesmo tempo $t = 10\sqrt{3} \, \mathrm{s}$.

A equação do movimento vertical do projétil é:
   $$
   y = v_{0p} t - \frac{1}{2} g t^2
   $$
   onde $v_{0p}$ é a velocidade inicial do projétil caça míssil.

Igualando as alturas:
   $$
   4000\sqrt{3} - 1470 = v_{0p} \cdot 10\sqrt{3} - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot (10\sqrt{3})^2
   $$

Simplificando:
   $$
   4000\sqrt{3} - 1470 = v_{0p} \cdot 10\sqrt{3} - 1470
   $$

Cancelando os termos comuns:
   $$
   4000\sqrt{3} = v_{0p} \cdot 10\sqrt{3}
   $$

Resolvendo para $v_{0p}$:
   $$
   v_{0p} = \frac{4000\sqrt{3}}{10\sqrt{3}} = 400 \, \mathrm{m/s}
   $$

**Resposta: C**

Portanto, a velocidade inicial necessária do projétil caça míssil para interceptar o míssil AX100 é de $ 400 \, \mathrm{m/s} $.