11) Numa estrela de cinco pontas, cada uma de
suas pontas corresponde a um ângulo. Qual a
soma das 5 pontas da estrela?

Question

Accepted Answer

A soma dos ângulos das 5 pontas de uma estrela é 180 graus.

Para entender por que, considere a estrela de cinco pontas como um pentágono com cinco triângulos isósceles anexados a cada lado.

1.  A soma dos ângulos internos de um pentágono é dada por:
   
   $(n - 2) 	imes 180^\circ$, onde $n$ é o número de lados.
   
   Para um pentágono, $n = 5$, então a soma é $(5 - 2) 	imes 180^\circ = 3 	imes 180^\circ = 540^\circ$.

2.  Cada ângulo interno do pentágono é suplementar ao ângulo na base dos triângulos isósceles. Seja $\alpha$ o ângulo no vértice de cada ponta da estrela (o ângulo que queremos somar). Os outros dois ângulos em cada triângulo isósceles são iguais, e vamos chamá-los de $\beta$. Assim, temos $2\beta + \alpha = 180^\circ$.

3.  Os ângulos na base dos triângulos isósceles formam um ângulo suplementar com os ângulos internos do pentágono. Portanto, $\beta + 	ext{ângulo interno do pentágono} = 180^\circ$.

4.  A soma dos ângulos internos do pentágono é $540^\circ$, então cada ângulo interno é $\frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$.

5.  Assim, $\beta = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

6.  Substituindo $\beta$ na equação $2\beta + \alpha = 180^\circ$, temos $2(72^\circ) + \alpha = 180^\circ$, o que dá $144^\circ + \alpha = 180^\circ$.

7.  Portanto, $\alpha = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.

8.  Como há 5 pontas na estrela, a soma dos ângulos das pontas é $5 	imes 36^\circ = 180^\circ$.

Assim, a soma dos ângulos das 5 pontas da estrela é $180^\circ$.

11) Numa estrela de cinco pontas, cada uma de suas pontas co...

Numa estrela de cinco pontas, cada uma de suas pontas corresponde a um ângulo. Qual a soma das 5 pontas da estrela?

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