11 - Resolva as equações:

a) log(x+2)+log(10x+20)=3
b) log2(2x+8)-log2(3x-4)=1
c) log2(x+7)-log2(x-11)=2
d) log4 x-log8 x=1
e) log2 x-3log x+2=0

12 - Resolva as inequações:

a) log4(3x+6)

Question

11 - Resolva as equações:

a) log(x+2)+log(10x+20)=3
b) log2(2x+8)-log2(3x-4)=1
c) log2(x+7)-log2(x-11)=2
d) log4 x-log8 x=1
e) log2 x-3log x+2=0

12 - Resolva as inequações:

a) log4(3x+6)<log4(4x-4)
b) log1/2 x2≥log1/2 9
c) log0.3(x2-1)<log0.3 8
d) log3 x+log3(x-8)<2

Accepted Answer

Vamos resolver as equações e inequações apresentadas. ### 11 - Resolva as equações: a) $\log(x+2) + \log(10x+20) = 3$ Usando a propriedade dos logaritmos $\log a + \log b = \log(ab)$: $$ \log((x+2)(10x+20)) = 3 $$ Convertendo para a forma exponencial: $$ (x+2)(10x+20) = 10^3 $$ $$ (x+2)(10x+20) = 1000 $$ Resolvendo a equação quadrática: $$ 10x^2 + 20x + 20x + 40 = 1000 $$ $$ 10x^2 + 40x + 40 = 1000 $$ $$ 10x^2 + 40x - 960 = 0 $$ Dividindo por 10: $$ x^2 + 4x - 96 = 0 $$ Usando a fórmula de Bhaskara: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ $$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} $$ $$ x = \frac{-4 \pm 20}{2} $$ As soluções são $x = 8$ e $x = -12$. Apenas $x = 8$ é válida, pois $x = -12$ não satisfaz a condição de domínio dos logaritmos. **Resposta: $x = 8$** b) $\log_2(2x+8) - \log_2(3x-4) = 1$ Usando a propriedade dos logaritmos $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$: $$ \log_2 \left(\frac{2x+8}{3x-4}\right) = 1 $$ Convertendo para a forma exponencial: $$ \frac{2x+8}{3x-4} = 2 $$ $$ 2x + 8 = 2(3x - 4) $$ $$ 2x + 8 = 6x - 8 $$ $$ 16 = 4x $$ $$ x = 4 $$ **Resposta: $x = 4$** c) $\log_2(x+7) - \log_2(x-11) = 2$ $$ \log_2 \left(\frac{x+7}{x-11}\right) = 2 $$ Convertendo para a forma exponencial: $$ \frac{x+7}{x-11} = 4 $$ $$ x + 7 = 4(x - 11) $$ $$ x + 7 = 4x - 44 $$ $$ 51 = 3x $$ $$ x = 17 $$ **Resposta: $x = 17$** d) $\log_4 x - \log_8 x = 1$ Convertendo as bases: $$ \frac{\log x}{\log 4} - \frac{\log x}{\log 8} = 1 $$ $$ \frac{\log x}{2\log 2} - \frac{\log x}{3\log 2} = 1 $$ Multiplicando por $6\log 2$: $$ 3\log x - 2\log x = 6\log 2 $$ $$ \log x = 6\log 2 $$ $$ x = 2^6 $$ $$ x = 64 $$ **Resposta: $x = 64$** e) $\log^2 x - 3\log x + 2 = 0$ Fazendo $y = \log x$: $$ y^2 - 3y + 2 = 0 $$ $$ (y - 1)(y - 2) = 0 $$ As soluções são $y = 1$ e $y = 2$. Portanto, $\log x = 1$ ou $\log x = 2$. Para $\log x = 1$, $x = 10^1 = 10$. Para $\log x = 2$, $x = 10^2 = 100$. **Resposta: $x = 10$ ou $x = 100$** ### 12 - Resolva as inequações: a) $\log_4(3x+6) < \log_4(4x-4)$ $$ 3x + 6 < 4x - 4 $$ $$ 6 + 4 < x $$ $$ x > 10 $$ **Resposta: $x > 10$** b) $\log_{\frac{1}{2}} x^2 \geq \log_{\frac{1}{2}} 9$ Como a base $\frac{1}{2}$ é menor que 1, invertemos o sinal: $$ x^2 \leq 9 $$ $$ -3 \leq x \leq 3 $$ **Resposta: $-3 \leq x \leq 3$** c) $\log_{0,3}(x^2 - 1) < \log_{0,3} 8$ Como a base $0,3$ é menor que 1, invertemos o sinal: $$ x^2 - 1 > 8 $$ $$ x^2 > 9 $$ $$ x > 3 \quad \text{ou} \quad x < -3 $$ **Resposta: $x > 3$ ou $x < -3$** d) $\log_3 x + \log_3 (x-8) < 2$ $$ \log_3 (x(x-8)) < 2 $$ Convertendo para a forma exponencial: $$ x(x-8) < 3^2 $$ $$ x^2 - 8x < 9 $$ $$ x^2 - 8x - 9 < 0 $$ Resolvendo a inequação quadrática: As raízes são $x = 9$ e $x = -1$. A solução é o intervalo entre as raízes: **Resposta: $-1 < x < 9$**

11 - Resolva as equações: a) log(x+2)+log(10x+20)=3 b) log2...

11 - Resolva as equações:

a) log(x+2)+log(10x+20)=3 b) log2(2x+8)-log2(3x-4)=1 c) log2(x+7)-log2(x-11)=2 d) log4 x-log8 x=1 e) log2 x-3log x+2=0

12 - Resolva as inequações:

a) log4(3x+6)<log4(4x-4) b) log1/2 x2≥log1/2 9 c) log0.3(x2-1)<log0.3 8 d) log3 x+log3(x-8)<2

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11 - Resolva as equações: a) log(x+2)+log(10x+20)=3 b) log2...

11 - Resolva as equações: a) log(x+2)+log(10x+20)=3 b) log2(2x+8)-log2(3x-4)=1 c) log2(x+7)-log2(x-11)=2 d) log4 x-log8 x=1 e) log2 x-3log x+2=0 12 - Resolva as inequações: a) log4(3x+6)<log4(4x-4) b) log1/2 x2≥log1/2 9 c) log0.3(x2-1)<log0.3 8 d) log3 x+log3(x-8)<2

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11 - Resolva as equações:

a) log(x+2)+log(10x+20)=3 b) log2(2x+8)-log2(3x-4)=1 c) log2(x+7)-log2(x-11)=2 d) log4 x-log8 x=1 e) log2 x-3log x+2=0

12 - Resolva as inequações:

a) log4(3x+6)<log4(4x-4) b) log1/2 x2≥log1/2 9 c) log0.3(x2-1)<log0.3 8 d) log3 x+log3(x-8)<2