114. Calcule todos os ângulos x, em radianos, de modo que os números sen x, tg x formem uma progressão geométrica.

Q: 114. Calcule todos os ângulos x, em radianos, de modo que os números sen x, tg x formem uma progressão geométrica.

Para resolver o problema, precisamos que os números $ \frac{\sin x}{2} $, $ \sin x $ e $ \tan x $ formem uma progressão geométrica (PG). Em uma PG, o quociente entre termos consecutivos é constante. Assim, temos: 1. $\frac{\sin x}{2}$, $\sin x$, $\tan x$ A razão comum $ r $ da PG é dada por: \[ r = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{2}} = 2 \] E também: \[ r = \frac{\tan x}{\sin x} \] Igualando as duas expressões para a razão comum: \[ 2 = \frac{\tan x}{\sin x} \] Sabemos que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Substituindo na equação: \[ 2 = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x} \] Simplificando, obtemos: \[ 2 = \frac{1}{\cos x} \] Portanto: \[ \cos x = \frac{1}{2} \] Os valores de $ x $ que satisfazem $\cos x = \frac{1}{2}$ são: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \] onde $ k $ é um número inteiro. Esses são os ângulos em radianos que satisfazem a condição dada no problema.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos que os números $ \frac{\sin x}{2} $, $ \sin x $ e $ \tan x $ formem uma progressão geométrica (PG). Em uma PG, o quociente entre termos consecutivos é constante. Assim, temos:

1. $\frac{\sin x}{2}$, $\sin x$, $\tan x$

A razão comum $ r $ da PG é dada por:

$$ r = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{2}} = 2 $$

E também:

$$ r = \frac{\tan x}{\sin x} $$

Igualando as duas expressões para a razão comum:

$$ 2 = \frac{\tan x}{\sin x} $$

Sabemos que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Substituindo na equação:

$$ 2 = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x} $$

Simplificando, obtemos:

$$ 2 = \frac{1}{\cos x} $$

Portanto:

$$ \cos x = \frac{1}{2} $$

Os valores de $ x $ que satisfazem $\cos x = \frac{1}{2}$ são:

$$ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi $$

onde $ k $ é um número inteiro.

Esses são os ângulos em radianos que satisfazem a condição dada no problema.

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Calcule todos os ângulos x, em radianos, de modo que os números sen x, tg x formem uma progressão geométrica.

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