12. Em um paralelepípedo reto retângulo o comprimento é o dobro da largura, e a altura é 15 cm. Sabendo que a área total é 424 cm², calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo.
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Juninnzxz
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27/08/24

Question

12. Em um paralelepípedo reto retângulo o comprimento é o dobro da largura, e a altura é 15 cm. Sabendo que a área total é 424 cm², calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar a fórmula da área total de um paralelepípedo retangular:

$$ \text{Área Total} = 2(ab + ac + bc) $$

onde $ a $, $ b $ e $ c $ são as dimensões do paralelepípedo. No problema, temos:

- Comprimento ($ a $) é o dobro da largura ($ b $), então $ a = 2b $.
- Altura ($ c $) é 15 cm.
- Área total é 424 cm².

Substituindo na fórmula:

$$ 2(2b \cdot b + 2b \cdot 15 + b \cdot 15) = 424 $$

Simplificando:

$$ 2(2b^2 + 30b + 15b) = 424 $$

$$ 2(2b^2 + 45b) = 424 $$

Dividindo ambos os lados por 2:

$$ 2b^2 + 45b = 212 $$

Resolvendo a equação quadrática:

$$ 2b^2 + 45b - 212 = 0 $$

Usando a fórmula de Bhaskara:

$$ b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} $$

onde $ A = 2 $, $ B = 45 $, $ C = -212 $.

$$ b = \frac{-45 \pm \sqrt{45^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-212)}}{2 \cdot 2} $$

$$ b = \frac{-45 \pm \sqrt{2025 + 1696}}{4} $$

$$ b = \frac{-45 \pm \sqrt{3721}}{4} $$

$$ b = \frac{-45 \pm 61}{4} $$

Calculando as raízes:

1. $ b = \frac{-45 + 61}{4} = \frac{16}{4} = 4 $
2. $ b = \frac{-45 - 61}{4} = \frac{-106}{4} = -26.5 $ (não faz sentido para uma medida)

Portanto, $ b = 4 $ cm.

Então, o comprimento $ a = 2b = 8 $ cm e a altura $ c = 15 $ cm.

As dimensões são: 
- Comprimento: 8 cm
- Largura: 4 cm
- Altura: 15 cm

12. Em um paralelepípedo reto retângulo o comprimento é o dobro da largura, e a altura é 15 cm. Sabendo que a área total é 424 cm², calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo.

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