12) (FGV 2017) Um fazendeiro dispõe de material para construir 60 metros de cerca em uma região retangular, com um lado adjacent ao um rio.

Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do retângulo adjacente ao rio, a área máxima da superfície que conseguirá cercar é

a) 430 m².
b) 440 m².
c) 460 m².
d) 470 m².
e) 450 m².

Question

12) (FGV 2017) Um fazendeiro dispõe de material para construir 60 metros de cerca em uma região retangular, com um lado adjacent ao um rio.

Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do retângulo adjacente ao rio, a área máxima da superfície que conseguirá cercar é

a) 430 m².
b) 440 m².
c) 460 m².
d) 470 m².
e) 450 m².

Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos considerar que o retângulo tem lados $x$ e $y$, onde $y$ é o lado adjacente ao rio e não precisa de cerca. Assim, a cerca será usada apenas nos outros três lados, formando a equação:

$$ x + 2y = 60 $$

Agora, queremos maximizar a área $A$ do retângulo, que é dada por:

$$ A = x \times y $$

Podemos expressar $x$ em termos de $y$ usando a equação da cerca:

$$ x = 60 - 2y $$

Substituindo na fórmula da área:

$$ A = (60 - 2y) \times y = 60y - 2y^2 $$

Para encontrar o valor de $y$ que maximiza a área, derivamos a função $A(y)$ e igualamos a zero:

$$ \frac{dA}{dy} = 60 - 4y = 0 $$

Resolvendo para $y$:

$$ 60 - 4y = 0 $$
$$ 4y = 60 $$
$$ y = 15 $$

Substituímos $y = 15$ na equação de $x$:

$$ x = 60 - 2 \times 15 = 30 $$

Agora, calculamos a área máxima:

$$ A = 30 \times 15 = 450 \, \text{m}^2 $$

**Resposta: e) 450 m²**

12) (FGV 2017) Um fazendeiro dispõe de material para constru...

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