12) Se $n$ é um número natural, resolva a
seguinte equação:
[(4n)! - (4n-1)!]/(4n)!] = 23/24

13) (UFRJ) O produto 20 x 18 x 16 x 14 x ... x
6 x 4 x 2 é equivalente a:

14) (UFRJ) Considere a equação (6.12.18.24.
.... 300)/50! = 216 elevado a $n$. O valor de $n$
real, verifica essa igualdade, é:

Question

12) Se $n$ é um número natural, resolva a
seguinte equação:
[(4n)! - (4n-1)!]/(4n)!] = 23/24

13) (UFRJ) O produto 20 x 18 x 16 x 14 x ... x
6 x 4 x 2 é equivalente a:

14) (UFRJ) Considere a equação (6.12.18.24.
.... 300)/50! = 216 elevado a $n$. O valor de $n$
real, verifica essa igualdade, é:

Accepted Answer

Aqui estão as soluções para os problemas apresentados:

12) Dado que $ n $ é um número natural, resolva a seguinte equação:
$$
\frac{(4n)! - (4n-1)!}{(4n)!} = \frac{23}{24}
$$

Primeiro, simplificamos a expressão:
$$
\frac{(4n)!}{(4n)!} - \frac{(4n-1)!}{(4n)!} = \frac{23}{24}
$$
$$
1 - \frac{(4n-1)!}{(4n)!} = \frac{23}{24}
$$
$$
1 - \frac{(4n-1)!}{4n \cdot (4n-1)!} = \frac{23}{24}
$$
$$
1 - \frac{1}{4n} = \frac{23}{24}
$$
Agora, resolvemos para $ n $:
$$
\frac{1}{4n} = 1 - \frac{23}{24}
$$
$$
\frac{1}{4n} = \frac{24}{24} - \frac{23}{24}
$$
$$
\frac{1}{4n} = \frac{1}{24}
$$
$$
4n = 24
$$
$$
n = \frac{24}{4}
$$
$$
n = 6
$$

13) (UFRJ) O produto $ 20 \times 18 \times 16 \times 14 \times \ldots \times 6 \times 4 \times 2 $ é equivalente a:

Podemos reescrever o produto como:
$$
20 \times 18 \times 16 \times \ldots \times 6 \times 4 \times 2 = (2 \times 10) \times (2 \times 9) \times (2 \times 8) \times \ldots \times (2 \times 3) \times (2 \times 2) \times (2 \times 1)
$$
Fatorando o 2 de cada termo, temos 10 termos, então:
$$
2^{10} \times (10 \times 9 \times 8 \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1) = 2^{10} \times 10!
$$

14) (UFRJ) Considere a equação $ \frac{6 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 24 \cdot \ldots \cdot 300}{50!} = 216^n $. O valor de $ n $ real que verifica essa igualdade é:

Primeiro, observe que o numerador é um produto de múltiplos de 6:
$$
6 \cdot 12 \cdot 18 \cdot \ldots \cdot 300 = 6(1) \cdot 6(2) \cdot 6(3) \cdot \ldots \cdot 6(50)
$$
Podemos reescrever isso como:
$$
6^{50} \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 50) = 6^{50} \cdot 50!
$$
Então, a equação se torna:
$$
\frac{6^{50} \cdot 50!}{50!} = 216^n
$$
$$
6^{50} = 216^n
$$
Como $ 216 = 6^3 $, temos:
$$
6^{50} = (6^3)^n
$$
$$
6^{50} = 6^{3n}
$$
Igualando os expoentes:
$$
50 = 3n
$$
$$
n = \frac{50}{3}
$$