12. (UEM-PR) Em relação a equações e inequações exponenciais, assinale o que for correto.
01. O conjunto solução da equação 3^x - 3x = 81 é S = {2, -4}.
02. O conjunto solução da equação 5 · 4^x + 1 = 40 é S = {2}.
04. O conjunto solução da inequação (1/3)^(x+5) ≥ 9^(x-1) é S = [-1, +∞).
08. O conjunto solução da inequação (1/2)^(x^2 - 2x + 3)

Q: 12. (UEM-PR) Em relação a equações e inequações exponenciais, assinale o que for correto. 01. O conjunto solução da equação 3^x - 3x = 81 é S = {2, -4}. 02. O conjunto solução da equação 5 · 4^x + 1 = 40 é S = {2}. 04. O conjunto solução da inequação (1/3)^(x+5) ≥ 9^(x-1) é S = [-1, +∞). 08. O conjunto solução da inequação (1/2)^(x^2 - 2x + 3) < (1/2)² é S = {x ∈ ℝ; x ≠ 1}. 16. A inequação 5x² + 6x + 3 < (1/5)⁶ não tem solução real. Soma: ________

Para resolver as questões, vamos analisar cada uma: 01. **Equação:** $3^{x^2 - 3x} = 81$ $81 = 3^4$, então: \[ x^2 - 3x = 4 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \] Resolvendo a equação quadrática: \[ (x-4)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 4 \, \text{ou} \, x = -1 \] O conjunto solução correto é $ S = \{4, -1\} $. 02. **Equação:** $5 \cdot 4^{x+1} = 40$ Dividindo ambos os lados por 5: \[ 4^{x+1} = 8 \] $8 = 4^{3/2}$, então: \[ x + 1 = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2} \] O conjunto solução correto é $ S = \left\{\frac{1}{2}\right\} $. 04. **Inequação:** $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+5} \geq 9^{x-1}$ $9 = 3^2$, então: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{x+5} \geq (3^2)^{x-1} \Rightarrow 3^{-(x+5)} \geq 3^{2(x-1)} \] Simplificando: \[ -(x+5) \geq 2x - 2 \Rightarrow -x - 5 \geq 2x - 2 \] \[ -3x \geq 3 \Rightarrow x \leq -1 \] O conjunto solução correto é $ S = (-\infty, -1] $. 08. **Inequação:** $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x + 3} 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 > 0 \] \((x-1)^2 > 0$, que é verdadeiro para todos os $ x \neq 1 $. O conjunto solução correto é $ S = \{x \in \mathbb{R}; x \neq 1\} $. 16. **Inequação:** $5^{x^2 + 6x + 3} < \left(\frac{1}{5}\right)^6$ $\left(\frac{1}{5}\right)^6 = 5^{-6}$, então: \[ x^2 + 6x + 3 < -6 \Rightarrow x^2 + 6x + 9 < 0 \] $(x+3)^2 < 0$ não tem solução real. A soma das alternativas corretas é: $02 + 08 + 16 = 26$.

Question

12. (UEM-PR) Em relação a equações e inequações exponenciais, assinale o que for correto.
01. O conjunto solução da equação 3^x - 3x = 81 é S = {2, -4}.
02. O conjunto solução da equação 5 · 4^x + 1 = 40 é S = {2}.
04. O conjunto solução da inequação (1/3)^(x+5) ≥ 9^(x-1) é S = [-1, +∞).
08. O conjunto solução da inequação (1/2)^(x^2 - 2x + 3) < (1/2)² é S = {x ∈ ℝ; x ≠ 1}.
16. A inequação 5x² + 6x + 3 < (1/5)⁶ não tem solução real.
Soma: ________

Accepted Answer

Para resolver as questões, vamos analisar cada uma: 01. **Equação:** $3^{x^2 - 3x} = 81$ $81 = 3^4$, então: $$ x^2 - 3x = 4 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 $$ Resolvendo a equação quadrática: $$ (x-4)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 4 \, \text{ou} \, x = -1 $$ O conjunto solução correto é $ S = \{4, -1\} $. 02. **Equação:** $5 \cdot 4^{x+1} = 40$ Dividindo ambos os lados por 5: $$ 4^{x+1} = 8 $$ $8 = 4^{3/2}$, então: $$ x + 1 = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2} $$ O conjunto solução correto é $ S = \left\{\frac{1}{2}\right\} $. 04. **Inequação:** $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+5} \geq 9^{x-1}$ $9 = 3^2$, então: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{x+5} \geq (3^2)^{x-1} \Rightarrow 3^{-(x+5)} \geq 3^{2(x-1)} $$ Simplificando: $$ -(x+5) \geq 2x - 2 \Rightarrow -x - 5 \geq 2x - 2 $$ $$ -3x \geq 3 \Rightarrow x \leq -1 $$ O conjunto solução correto é $ S = (-\infty, -1] $. 08. **Inequação:** $\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x + 3} < \left(\frac{1}{2}\right)^2$ Simplificando: $$ x^2 - 2x + 3 > 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 > 0 $$ $(x-1)^2 > 0$, que é verdadeiro para todos os $ x \neq 1 $. O conjunto solução correto é $ S = \{x \in \mathbb{R}; x \neq 1\} $. 16. **Inequação:** $5^{x^2 + 6x + 3} < \left(\frac{1}{5}\right)^6$ $\left(\frac{1}{5}\right)^6 = 5^{-6}$, então: $$ x^2 + 6x + 3 < -6 \Rightarrow x^2 + 6x + 9 < 0 $$ $(x+3)^2 < 0$ não tem solução real. A soma das alternativas corretas é: $02 + 08 + 16 = 26$.

12. (UEM-PR) Em relação a equações e inequações exponenciais...

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