12 - (UFSC) Se os números reais positivos a e b são tais que { a - b = 48 log2 a - log2 b = 2, b = 2, calcule o valor de a + b.
L
Luiz
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02/12/24

Question

12 - (UFSC) Se os números reais positivos a e b são tais que { a - b = 48 log2 a - log2 b = 2, b = 2, calcule o valor de a + b.

Accepted Answer

Para resolver o problema, temos o seguinte sistema de equações:

1. $ a - b = 48 $
2. $ \log_2 a - \log_2 b = 2 $

Podemos reescrever a segunda equação usando a propriedade dos logaritmos:

$$
\log_2 \left(\frac{a}{b}\right) = 2
$$

Isso implica que:

$$
\frac{a}{b} = 2^2 = 4
$$

Agora temos um novo sistema de equações:

1. $ a - b = 48 $
2. $ \frac{a}{b} = 4 $

Da segunda equação, podemos escrever $ a = 4b $.

Substituindo na primeira equação:

$$
4b - b = 48
$$

$$
3b = 48
$$

$$
b = 16
$$

Substituindo o valor de $ b $ na equação $ a = 4b $:

$$
a = 4 \times 16 = 64
$$

Portanto, o valor de $ a + b $ é:

$$
a + b = 64 + 16 = 80
$$

O valor de $ a + b $ é **80**.

12 - (UFSC) Se os números reais positivos a e b são tais que { a - b = 48 log2 a - log2 b = 2, b = 2, calcule o valor de a + b.