12. (UFV - Modificada) O chapéu mexicano, representado na figura, gira com velocidade angular constante. Cada assento é preso por quatro correntes, que formam com a vertical um ângulo de 30°. As correntes estão presas à borda do círculo superior, cujo diâmetro é de 6,24 m, em quanto o comprimento das correntes é de 6 m. A massa da criança é de 34 kg, sendo desprezadas as massas dos assentos e das correntes. (Dados: g = 10 m/s², √3 = 1,7.)

Calcule:
a) a tensão em cada corrente;
b) a velocidade delas ao longo da trajetória circular.

Question

12. (UFV - Modificada) O chapéu mexicano, representado na figura, gira com velocidade angular constante. Cada assento é preso por quatro correntes, que formam com a vertical um ângulo de 30°. As correntes estão presas à borda do círculo superior, cujo diâmetro é de 6,24 m, em quanto o comprimento das correntes é de 6 m. A massa da criança é de 34 kg, sendo desprezadas as massas dos assentos e das correntes. (Dados: g = 10 m/s², √3 = 1,7.)

Calcule:
a) a tensão em cada corrente;
b) a velocidade delas ao longo da trajetória circular.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos considerar as forças em equilíbrio no sistema.

### a) Tensão em cada corrente

1. **Forças envolvidas:**
   - Peso da criança ($P = mg$)
   - Componente vertical da tensão ($T_v = T \cos \theta$)
   - Componente horizontal da tensão ($T_h = T \sin \theta$)

2. **Equilíbrio vertical:**
   $$
   T \cos \theta = mg
   $$

3. **Equilíbrio horizontal (força centrípeta):**
   $$
   T \sin \theta = \frac{mv^2}{R}
   $$

Onde $R$ é o raio da trajetória circular.

4. **Ângulo e trigonometria:**
   - $\theta = 30^\circ$
   - $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
   - $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

5. **Cálculo de $T$:**
   $$
   T \cos 30^\circ = mg \implies T \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 34 \cdot 10
   $$
   $$
   T = \frac{34 \cdot 10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{340 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{680}{1.7} \approx 400 \, \text{N}
   $$

### b) Velocidade ao longo da trajetória circular

1. **Raio da trajetória circular:**
   - A componente horizontal é dada por $R = L \sin \theta$, onde $L = 6\, \text{m}$.
   $$
   R = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \, \text{m}
   $$

2. **Força centrípeta:**
   $$
   T \sin \theta = \frac{mv^2}{R} \implies 400 \cdot \frac{1}{2} = \frac{34 \cdot v^2}{3}
   $$
   $$
   200 = \frac{34 \cdot v^2}{3}
   $$
   $$
   v^2 = \frac{200 \cdot 3}{34} \approx 17.65
   $$
   $$
   v \approx \sqrt{17.65} \approx 4.2 \, \text{m/s}
   $$

Portanto:
- **A tensão em cada corrente é aproximadamente 400 N.**
- **A velocidade ao longo da trajetória circular é aproximadamente 4.2 m/s.**

12. (UFV - Modificada) O chapéu mexicano, representado na fi...

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