13. Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta com um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.

(a) (F) det(2A) = 2 det(A).
(b) (F) det(I + A) = 1 + det(A).
(c) (F) Não existe matriz real quadrada A tal que det(A) = 4, então det(AA^T) = -1.
(d) (F) Se det(AA^T) = 4, então B é inversível.
(e) (V) Se det(A) ≠ 0 e AB = 0, então A ∈ M_n(ℝ) e n é par, então 3A também o é.
(f) (V) Se A 100 é inversível, então A é diagonal principal A consiste de zeros, então det(A) é.

Question

13. Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta com um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.

(a) (F) det(2A) = 2 det(A).
(b) (F) det(I + A) = 1 + det(A).
(c) (F) Não existe matriz real quadrada A tal que det(A) = 4, então det(AA^T) = -1.
(d) (F) Se det(AA^T) = 4, então B é inversível.
(e) (V) Se det(A) ≠ 0 e AB = 0, então A ∈ M_n(ℝ) e n é par, então 3A também o é.
(f) (V) Se A 100 é inversível, então A é diagonal principal A consiste de zeros, então det(A) é.

Accepted Answer

Para decidir se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), vejamos:

(a) **F**: $\det(2A) = 2^n \cdot \det(A)$, onde $n$ é a ordem de $A$. Portanto, $\det(2A) \neq 2 \cdot \det(A)$ em geral.

(b) **F**: $\det(I + A) \neq 1 + \det(A)$ em geral. O determinante de uma soma não é igual à soma dos determinantes.

(c) **F**: Existe matriz real quadrada $A$ tal que $\det(A) = 2$.

(d) **F**: Se $\det(AA^T) = 4$, então $\det(A) = \pm 2$, mas isso não garante que $B$ seja inversível.

(e) **V**: Se $\det(A) \neq 0$ e $AB = 0$, então $B$ deve ser a matriz zero, pois $A$ é inversível.

(f) **V**: Se $\det(A^n) = \det(-A)$ e $n$ é par, então $\det(A^n) = (\det(A))^n$ e $\det(-A) = (-1)^n \cdot \det(A) = \det(A)$.

(g) **V**: Se $A$ é inversível, então $A^{100}$ também é inversível.

(h) **V**: Se a diagonal principal de $A$ consiste de zeros, então $\det(A) = 0$, pois a matriz não pode ser invertida.

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