13. Determine quantas voltas completas um móvel dá e em que quadrante ele para se. partindo da origem dos arcos, percorre, na circunferencla trigonométrica, um arco de:
a) $ 1810^{\circ} $;
c) $ -1200^{\circ} $;
b) $ \frac{25 \pi}{4} \mathrm{rad} $;
d) $ 900^{\circ} $;
e) $ \frac{31 \pi}{6} \mathrm{rad} $;
f) $ \frac{9 \pi}{2} \mathrm{rad} $.

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada item separadamente, calculando o número de voltas completas e determinando em qual quadrante o móvel para.

### a) $ 1810^{\circ} $

Para encontrar o número de voltas completas, dividimos o ângulo pelo ângulo de uma volta completa ($360^{\circ}$):

$$
\frac{1810}{360} \approx 5.0278
$$

O número inteiro de voltas completas é 5. Para encontrar o ângulo restante:

$$
1810 - 5 \times 360 = 1810 - 1800 = 10^{\circ}
$$

O ângulo $10^{\circ}$ está no primeiro quadrante.

**Resposta: 5 voltas completas, primeiro quadrante.**

### b) $ -1200^{\circ} $

Para encontrar o número de voltas completas, dividimos o ângulo pelo ângulo de uma volta completa ($360^{\circ}$):

$$
\frac{-1200}{360} \approx -3.3333
$$

O número inteiro de voltas completas é -3. Para encontrar o ângulo restante:

$$
-1200 + 3 \times 360 = -1200 + 1080 = -120^{\circ}
$$

Como o ângulo é negativo, vamos adicionar $360^{\circ}$ para encontrar a posição equivalente positiva:

$$
-120 + 360 = 240^{\circ}
$$

O ângulo $240^{\circ}$ está no terceiro quadrante.

**Resposta: 3 voltas completas no sentido anti-horário, terceiro quadrante.**

### c) $ \frac{25 \pi}{4} \mathrm{rad} $

Primeiro, convertemos o ângulo para graus. Sabemos que $ \pi $ radianos é $ 180^{\circ} $:

$$
\frac{25 \pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = \frac{25 \times 180}{4} = 1125^{\circ}
$$

Agora, encontramos o número de voltas completas:

$$
\frac{1125}{360} \approx 3.125
$$

O número inteiro de voltas completas é 3. Para encontrar o ângulo restante:

$$
1125 - 3 \times 360 = 1125 - 1080 = 45^{\circ}
$$

O ângulo $45^{\circ}$ está no primeiro quadrante.

**Resposta: 3 voltas completas, primeiro quadrante.**

### d) $ 900^{\circ} $

Para encontrar o número de voltas completas, dividimos o ângulo pelo ângulo de uma volta completa ($360^{\circ}$):

$$
\frac{900}{360} \approx 2.5
$$

O número inteiro de voltas completas é 2. Para encontrar o ângulo restante:

$$
900 - 2 \times 360 = 900 - 720 = 180^{\circ}
$$

O ângulo $180^{\circ}$ está no segundo quadrante (na borda entre o segundo e terceiro quadrantes).

**Resposta: 2 voltas completas, segundo quadrante.**

### e) $ \frac{31 \pi}{6} \mathrm{rad} $

Primeiro, convertemos o ângulo para graus. Sabemos que $ \pi $ radianos é $ 180^{\circ} $:

$$
\frac{31 \pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = \frac{31 \times 180}{6} = 930^{\circ}
$$

Agora, encontramos o número de voltas completas:

$$
\frac{930}{360} \approx 2.5833
$$

O número inteiro de voltas completas é 2. Para encontrar o ângulo restante:

$$
930 - 2 \times 360 = 930 - 720 = 210^{\circ}
$$

O ângulo $210^{\circ}$ está no terceiro quadrante.

**Resposta: 2 voltas completas, terceiro quadrante.**

### f) $ \frac{9 \pi}{2} \mathrm{rad} $

Primeiro, convertemos o ângulo para graus. Sabemos que $ \pi $ radianos é $ 180^{\circ} $:

$$
\frac{9 \pi}{2} \times \frac{180}{\pi} = \frac{9 \times 180}{2} = 810^{\circ}
$$

Agora, encontramos o número de voltas completas:

$$
\frac{810}{360} \approx 2.25
$$

O número inteiro de voltas completas é 2. Para encontrar o ângulo restante:

$$
810 - 2 \times 360 = 810 - 720 = 90^{\circ}
$$

O ângulo $90^{\circ}$ está no primeiro quadrante (na borda entre o primeiro e segundo quadrantes).

**Resposta: 2 voltas completas, primeiro quadrante.**

13. Determine quantas voltas completas um móvel dá e em que ...

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