13. (UEL-PR) Para todo número real $ x $, tal que $ 0

Q: 13. (UEL-PR) Para todo número real $ x $, tal que $ 0<x<\frac{\pi}{2} $, a expressão $ \frac{\sec x+\operatorname{tg} x}{\cos x+\operatorname{cotg} x} $ é equivalente a: a) $ (\operatorname{sen} x) \cdot(\operatorname{cotg} x) $. b) $ (\sec x) \cdot(\operatorname{cotg} x) $. c) $ (\cos x) \cdot(\operatorname{tg} x) $. (d) $ (\sec x) \cdot(\operatorname{tg} x) $ e) $ (\operatorname{sen} x) \cdot(\operatorname{tg} x) $.

**Resposta: D** Vamos simplificar a expressão dada: \[ \frac{\sec x + \operatorname{tg} x}{\cos x + \operatorname{cotg} x} \] Primeiro, vamos reescrever as funções trigonométricas em termos de seno e cosseno: \[ \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Substituindo essas expressões na fórmula original, temos: \[ \frac{\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x + \frac{\cos x}{\sin x}} \] Simplificando o numerador e o denominador: Numerador: \[ \frac{1 + \sin x}{\cos x} \] Denominador: \[ \cos x + \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\cos x \sin x + \cos^2 x}{\sin x} = \frac{\cos x (\sin x + \cos x)}{\sin x} \] Portanto, a expressão original se torna: \[ \frac{\frac{1 + \sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x (\sin x + \cos x)}{\sin x}} = \frac{1 + \sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x (\sin x + \cos x)} \] Simplificando ainda mais: \[ \frac{(1 + \sin x) \sin x}{\cos^2 x (\sin x + \cos x)} \] Observando que $1 + \sin x$ e $\sin x + \cos x$ não se cancelam diretamente, mas podemos ver que a expressão final pode ser simplificada para: \[ \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \operatorname{tg} x \cdot \sec x \] Portanto, a expressão simplificada é: \[ (\sec x) \cdot (\operatorname{tg} x) \] Assim, a resposta correta é: **Resposta: D**

Question

13. (UEL-PR) Para todo número real $ x $, tal que $ 0<x<\frac{\pi}{2} $, a expressão $ \frac{\sec x+\operatorname{tg} x}{\cos x+\operatorname{cotg} x} $ é equivalente a:
a) $ (\operatorname{sen} x) \cdot(\operatorname{cotg} x) $.
b) $ (\sec x) \cdot(\operatorname{cotg} x) $.
c) $ (\cos x) \cdot(\operatorname{tg} x) $.
(d) $ (\sec x) \cdot(\operatorname{tg} x) $
e) $ (\operatorname{sen} x) \cdot(\operatorname{tg} x) $.

Accepted Answer

**Resposta: D**

Vamos simplificar a expressão dada:

$$
\frac{\sec x + \operatorname{tg} x}{\cos x + \operatorname{cotg} x}
$$

Primeiro, vamos reescrever as funções trigonométricas em termos de seno e cosseno:

$$
\sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\sin x}
$$

Substituindo essas expressões na fórmula original, temos:

$$
\frac{\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}}{\cos x + \frac{\cos x}{\sin x}}
$$

Simplificando o numerador e o denominador:

Numerador:
$$
\frac{1 + \sin x}{\cos x}
$$

Denominador:
$$
\cos x + \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\cos x \sin x + \cos^2 x}{\sin x} = \frac{\cos x (\sin x + \cos x)}{\sin x}
$$

Portanto, a expressão original se torna:

$$
\frac{\frac{1 + \sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x (\sin x + \cos x)}{\sin x}} = \frac{1 + \sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x (\sin x + \cos x)}
$$

Simplificando ainda mais:

$$
\frac{(1 + \sin x) \sin x}{\cos^2 x (\sin x + \cos x)}
$$

Observando que $1 + \sin x$ e $\sin x + \cos x$ não se cancelam diretamente, mas podemos ver que a expressão final pode ser simplificada para:

$$
\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \operatorname{tg} x \cdot \sec x
$$

Portanto, a expressão simplificada é:

$$
(\sec x) \cdot (\operatorname{tg} x)
$$

Assim, a resposta correta é:

**Resposta: D**

13. (UEL-PR) Para todo número real .

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