13. Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de $ 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $. Um holofote localizado no chão a $ 6 \mathrm{~m} $ do caminho é mantido focalizado no homem. A que taxa o holofote está girando quando o homem está a $ 8 \mathrm{~m} $ do ponto do caminho mais próximo da luz?
14. O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de $ 8 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} $ e sua largura está aumentando numa taxa de $ 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} $. Quando o comprimento for $ 20 \mathrm{~cm} $ e a largura for $ 10 \mathrm{~cm} $, quão rápido a área do retângulo está aumentando?

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada uma das questões passo a passo.

### Questão 13

Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de $1,5 \mathrm{~m/s}$. Um holofote localizado no chão a $6 \mathrm{~m}$ do caminho é mantido focalizado no homem. Queremos encontrar a que taxa o holofote está girando quando o homem está a $8 \mathrm{~m}$ do ponto do caminho mais próximo da luz.

1. Vamos definir $x$ como a distância do homem ao ponto do caminho mais próximo da luz. Portanto, $ \frac{dx}{dt} = 1,5 \mathrm{~m/s} $.

2. A posição do homem em relação ao holofote forma um triângulo retângulo onde:
   - $ x $ é a distância do homem ao ponto mais próximo do holofote no caminho.
   - $ 6 \mathrm{~m} $ é a distância perpendicular do holofote ao caminho.
   - $ y $ é a distância entre o homem e o holofote ao longo da linha direta.

3. Usando o teorema de Pitágoras:
   $$
   y^2 = x^2 + 6^2
   $$
   $$
   y^2 = x^2 + 36
   $$

4. Diferenciando ambos os lados da equação com respeito ao tempo $ t $:
   $$
   2y \frac{dy}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}
   $$
   $$
   y \frac{dy}{dt} = x \frac{dx}{dt}
   $$

5. Quando $ x = 8 \mathrm{~m} $, podemos encontrar $ y $:
   $$
   y^2 = 8^2 + 6^2
   $$
   $$
   y^2 = 64 + 36
   $$
   $$
   y^2 = 100
   $$
   $$
   y = 10 \mathrm{~m}
   $$

6. Substituindo $ y = 10 \mathrm{~m} $ e $ \frac{dx}{dt} = 1,5 \mathrm{~m/s} $:
   $$
   10 \frac{dy}{dt} = 8 \times 1,5
   $$
   $$
   10 \frac{dy}{dt} = 12
   $$
   $$
   \frac{dy}{dt} = 1,2 \mathrm{~m/s}
   $$

7. Agora, precisamos encontrar a taxa de variação do ângulo $ \theta $ que o holofote faz com a linha perpendicular ao caminho:
   $$
   \tan(\theta) = \frac{x}{6}
   $$

8. Diferenciando ambos os lados com respeito ao tempo $ t $:
   $$
   \sec^2(\theta) \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{6} \frac{dx}{dt}
   $$

9. Sabemos que:
   $$
   \sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta) = 1 + \left(\frac{8}{6}\right)^2 = 1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}
   $$

10. Portanto:
    $$
    \frac{25}{9} \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{6} \times 1,5
    $$
    $$
    \frac{25}{9} \frac{d\theta}{dt} = 0,25
    $$
    $$
    \frac{d\theta}{dt} = \frac{0,25 \times 9}{25}
    $$
    $$
    \frac{d\theta}{dt} = \frac{2,25}{25}
    $$
    $$
    \frac{d\theta}{dt} = 0,09 \mathrm{~rad/s}
    $$

Portanto, a taxa na qual o holofote está girando é $0,09 \mathrm{~rad/s}$.

### Questão 14

O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de $8 \mathrm{~cm/s}$ e sua largura está aumentando a uma taxa de $3 \mathrm{~cm/s}$. Quando o comprimento for $20 \mathrm{~cm}$ e a largura for $10 \mathrm{~cm}$, quão rápido a área do retângulo está aumentando?

1. Vamos definir:
   - $ l $ como o comprimento do retângulo.
   - $ w $ como a largura do retângulo.
   - $ A $ como a área do retângulo.

2. Sabemos que:
   $$
   \frac{dl}{dt} = 8 \mathrm{~cm/s}
   $$
   $$
   \frac{dw}{dt} = 3 \mathrm{~cm/s}
   $$

3. A área $ A $ do retângulo é dada por:
   $$
   A = l \times w
   $$

4. Diferenciando ambos os lados com respeito ao tempo $ t $:
   $$
   \frac{dA}{dt} = l \frac{dw}{dt} + w \frac{dl}{dt}
   $$

5. Substituindo $ l = 20 \mathrm{~cm} $, $ w = 10 \mathrm{~cm} $, $ \frac{dl}{dt} = 8 \mathrm{~cm/s} $ e $ \frac{dw}{dt} = 3 \mathrm{~cm/s} $:
   $$
   \frac{dA}{dt} = 20 \times 3 + 10 \times 8
   $$
   $$
   \frac{dA}{dt} = 60 + 80
   $$
   $$
   \frac{dA}{dt} = 140 \mathrm{~cm^2/s}
   $$

Portanto, a área do retângulo está aumentando a uma taxa de $140 \mathrm{~cm^2/s}$.