14.24 Elevador hidráulico I. No elevador hidráulico mostrado na Figura 14.8, qual deve ser a razão entre o diâmetro do braço do recipiente sob o carro e o diametro do braço do recipiente onde a força é aplicada para que um carro de \( 1520 \mathrm{~kg} \) possa ser erguido com uma força de apenas \( 125 \mathrm{~N} \) ?

Para resolver essa questão, vamos utilizar o princípio de Pascal, que afirma que a pressão aplicada em um fluido incompressível é transmitida igualmente em todas as direções. No caso de um elevador hidráulico, a força aplicada no pistão menor gera uma pressão que é transmitida ao pistão maior, permitindo levantar o carro.

A fórmula da pressão é:

$$P = \frac{F}{A}$$

onde $P$ é a pressão, $F$ é a força e $A$ é a área.

Para dois pistões, a pressão deve ser a mesma, então:

$$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$$

Vamos chamar:

• $F_1$ de 125 N (força aplicada)
• $F_2$ de $1520 \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~m/s^2}$ (força devido ao peso do carro)
• $A_1$ de área do pistão onde a força é aplicada
• $A_2$ de área do pistão sob o carro

Primeiro, calculamos a força $F_2$:

$$F_2 = 1520 \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~m/s^2} = 14896 \mathrm{~N}$$

Agora, usando a relação das áreas dos pistões, lembrando que a área de um círculo é dada por $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$:

$$\frac{F_1}{\pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2} = \frac{F_2}{\pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$$

Simplificando os termos comuns ($\pi$):

$$\frac{F_1}{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2} = \frac{F_2}{\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$$ $$\frac{125}{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2} = \frac{14896}{\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$$

Rearranjando para encontrar a razão entre os diâmetros $d_2/d_1$:

$$\frac{\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2} = \frac{14896}{125}$$ $$\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = \frac{14896}{125}$$ $$\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = 119.168$$ $$\frac{d_2}{d_1} = \sqrt{119.168}$$ $$\frac{d_2}{d_1} \approx 10.91$$

Portanto, a razão entre o diâmetro do braço do recipiente sob o carro e o diâmetro do braço do recipiente onde a força é aplicada deve ser aproximadamente 10.91.