14.58 .. Um tubo de vidro es-

Figura P14.58 treito, em forma de U, com extremidades abertas, é preenchido com $ 25,0 \mathrm{~cm} $ de óleo (com densidade relativa igual a 0.80 ) e 25.0 cm de água em lados opostos, com uma barreira separando os líquidos (Figura P14.58). (a) Suponha que os dois líquidos não se misturem e determine as alturas finais das colunas de líquido em cada lado do lubo depois que a barreira for removida. (b) Para os casos a seguir, chegue à sua resposta pelo simples raciocínio físico. e não por cálculos: (i) Qual seria a altura em cada lado se o óleo e a água tivessem as mesmas densidades? (ii) Quais seriam as alturas se a densidade do óleo fosse muito menor que a da água?

Question

14.58 .. Um tubo de vidro es-

Figura P14.58 treito, em forma de U, com extremidades abertas, é preenchido com $ 25,0 \mathrm{~cm} $ de óleo (com densidade relativa igual a 0.80 ) e 25.0 cm de água em lados opostos, com uma barreira separando os líquidos (Figura P14.58). (a) Suponha que os dois líquidos não se misturem e determine as alturas finais das colunas de líquido em cada lado do lubo depois que a barreira for removida. (b) Para os casos a seguir, chegue à sua resposta pelo simples raciocínio físico. e não por cálculos: (i) Qual seria a altura em cada lado se o óleo e a água tivessem as mesmas densidades? (ii) Quais seriam as alturas se a densidade do óleo fosse muito menor que a da água?

Accepted Answer

Vamos resolver o problema em partes.

### Parte (a): Determinar as alturas finais das colunas de líquido

Primeiro, vamos definir algumas variáveis:
- $h_o$: altura final da coluna de óleo
- $h_a$: altura final da coluna de água
- $d_o$: densidade do óleo
- $d_a$: densidade da água

Sabemos que a densidade relativa do óleo é 0.80, o que significa que:
$$ d_o = 0.80 \cdot d_a $$

A pressão no fundo do tubo deve ser a mesma dos dois lados após a remoção da barreira. Assim, podemos escrever a equação de equilíbrio de pressões:

$$ d_o \cdot g \cdot h_o = d_a \cdot g \cdot h_a $$

Como $d_o = 0.80 \cdot d_a$, substituímos na equação:

$$ 0.80 \cdot d_a \cdot g \cdot h_o = d_a \cdot g \cdot h_a $$

Cancelamos $d_a \cdot g$ dos dois lados:

$$ 0.80 \cdot h_o = h_a $$

Sabemos também que a soma das alturas das colunas de líquido é constante e igual à altura inicial total (25 cm de óleo + 25 cm de água = 50 cm):

$$ h_o + h_a = 50 \, \text{cm} $$

Substituímos $h_a$ por $0.80 \cdot h_o$ na equação acima:

$$ h_o + 0.80 \cdot h_o = 50 $$
$$ 1.80 \cdot h_o = 50 $$
$$ h_o = \frac{50}{1.80} $$
$$ h_o \approx 27.78 \, \text{cm} $$

Agora, substituímos $h_o$ na equação $h_a = 0.80 \cdot h_o$:

$$ h_a = 0.80 \cdot 27.78 $$
$$ h_a \approx 22.22 \, \text{cm} $$

Portanto, as alturas finais das colunas de líquido serão aproximadamente:
- Altura do óleo: $27.78 \, \text{cm}$
- Altura da água: $22.22 \, \text{cm}$

### Parte (b): Raciocínio físico para diferentes casos

#### (i) Se o óleo e a água tivessem as mesmas densidades

**Resposta:** As alturas seriam iguais.

Explicação: Se os líquidos têm a mesma densidade, a pressão exercida por uma coluna de óleo seria igual à pressão exercida por uma coluna de água da mesma altura. Portanto, as alturas finais seriam iguais, ou seja, cada lado teria uma altura de $25 \, \text{cm}$.

#### (ii) Se a densidade do óleo fosse muito menor que a da água

**Resposta:** A altura do óleo seria muito maior que a da água.

Explicação: Se a densidade do óleo fosse muito menor que a da água, a pressão exercida por uma coluna de óleo seria muito menor comparada à mesma altura de água. Para equilibrar as pressões, a coluna de óleo precisaria ser muito mais alta que a coluna de água.

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