14. (UM-SP) Quando resolvido no intervalo [0, 2π], o número de quadrantes nos quais a desigualdade 2cos x

Question

14. (UM-SP) Quando resolvido no intervalo [0, 2π], o número de quadrantes nos quais a desigualdade 2cos x < √3 apresenta soluções é:

a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.

15. (ESPCEX-SP) No círculo trigonométrico (raio = 1), representado na figura, a medida de β é 150° e AB representa um diâmetro.

O valor do produto das medidas dos segmentos OC e OD é:

a) 1/4.
b) 1/2.
c) √3/4.
d) √3/2.
e) √2/2.

16. (Unesp-SP) Se cos(x) = a, para x ∈ [0, π/2], e assumindo que a ≠ 0 e a ≠ 1, o valor de tg(2x) é:

a) 2a² - 1 / 2a√(1 - a²).
b) √(1 - a²) / a.
c) 2a√(1 - a²) / 2a² - 1.
d) 2a√(1 - a²) / 2a² - 1.
e) 2a² - 1.

Accepted Answer

Claro! Vamos resolver as questões.

### Questão 14

A desigualdade é $2\cos x < \sqrt{3}$.

Primeiro, isolamos $\cos x$:

$$
\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}
$$

Sabemos que $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nos ângulos $x = \frac{\pi}{6}$ e $x = \frac{11\pi}{6}$. A desigualdade será satisfeita entre esses valores no intervalo $[0, 2\pi]$.

- No primeiro quadrante: $0 < x < \frac{\pi}{6}$
- No segundo quadrante: $\frac{\pi}{6} < x < \pi$
- No terceiro quadrante: Não satisfaz
- No quarto quadrante: $\pi < x < \frac{11\pi}{6}$

Portanto, a desigualdade é satisfeita em **3 quadrantes**.

**Resposta: d) 3**

### Questão 15

No círculo trigonométrico, $\beta = 150^\circ$, o que significa que $AB$ é um diâmetro. O ponto $C$ está na interseção do círculo com a linha que forma o ângulo $\beta$ com o eixo $x$.

Para calcular o produto das medidas dos segmentos $OC$ e $OD$, podemos usar propriedades geométricas. Como $AB$ é um diâmetro, $D$ é o ponto médio de $AB$, e $O$ é o centro do círculo.

$OC$ e $OD$ são partes do triângulo retângulo $OCD$.

Se $OC = r \cdot \cos(\beta)$ e $OD = r \cdot \sin(\beta)$ com $r = 1$, temos:

$$
OC = \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad OD = \sin(150^\circ) = \frac{1}{2}
$$

O produto é:

$$
OC \cdot OD = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4}
$$

Como estamos interessados apenas no módulo:

**Resposta: c) $\frac{\sqrt{3}}{4}$**

### Questão 16

Dado $\cos(x) = a$, queremos encontrar $\tan(2x)$.

Usamos a fórmula da tangente do ângulo duplo:

$$
\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}
$$

Sabemos que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Como $\cos(x) = a$, então $\sin(x) = \sqrt{1-a^2}$.

Assim, $\tan(x) = \frac{\sqrt{1-a^2}}{a}$.

Substituindo na fórmula de $\tan(2x)$:

$$
\tan(2x) = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{1-a^2}}{a}}{1 - \left(\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}\right)^2}
$$

Simplificando:

$$
\tan(2x) = \frac{2\sqrt{1-a^2}/a}{1 - (1-a^2)/a^2}
$$

$$
= \frac{2\sqrt{1-a^2}/a}{\frac{a^2 - (1-a^2)}{a^2}}
$$

$$
= \frac{2\sqrt{1-a^2}/a}{\frac{2a^2 - 1}{a^2}}
$$

$$
= \frac{2a\sqrt{1-a^2}}{2a^2 - 1}
$$

**Resposta: a) $\frac{2a\sqrt{1-a^2}}{2a^2 - 1}$**

14. (UM-SP) Quando resolvido no intervalo [0, 2π], o número ...

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