14. Uma piscina possui a forma de um paralelepípedo retângulo. Vista de cima, essa piscina possui a forma de um retângulo, com largura 3,5 metros menor do que seu comprimento, sendo a medida da diagonal desse retângulo 0,5 metro maior do que a medida de seu comprimento. A figura a seguir representa, fora de escala, essa piscina, vista de cima:

Se essa piscina tem profundidade fixa de 2 metros, sua capacidade total é de

(A) 40 m³.
(B) 36 m³.
(C) 32 m³.
(D) 30 m³.
(E) 24 m³.

Question

14. Uma piscina possui a forma de um paralelepípedo retângul...

Se essa piscina tem profundidade fixa de 2 metros, sua capacidade total é de

(A) 40 m³.
(B) 36 m³.
(C) 32 m³.
(D) 30 m³.
(E) 24 m³.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar o Teorema de Pitágoras no retângulo que forma a base da piscina.

As medidas são:
- Comprimento: $ X $
- Largura: $ X - 3,5 $
- Diagonal: $ X + 0,5 $

Pelo Teorema de Pitágoras:

$$
(X + 0,5)^2 = X^2 + (X - 3,5)^2
$$

Expansão e simplificação:

$$
X^2 + 1 + X = X^2 + X^2 - 7X + 12,25
$$

$$
X^2 + X + 0,25 = 2X^2 - 7X + 12,25
$$

Reorganizando:

$$
0 = X^2 - 8X + 12
$$

Resolvendo a equação quadrática:

$$
X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Onde $ a = 1 $, $ b = -8 $, $ c = 12 $:

$$
X = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}
$$

$$
X = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}
$$

$$
X = \frac{8 \pm 4}{2}
$$

As soluções são $ X = 6 $ ou $ X = 2 $.

Considerando $ X = 6 $ (pois a largura deve ser positiva):

Comprimento: $ 6 $ m  
Largura: $ 2,5 $ m

Área da base:

$$
6 \times 2,5 = 15 \, \text{m}^2
$$

Volume total (profundidade de 2 m):

$$
15 \times 2 = 30 \, \text{m}^3
$$

**Resposta: D**

A capacidade total é de 30 m³.