15. Determine os valores de k para os quais o sistema
\begin{cases}
x + y = 2 \
kx + 2y = 4
\end{cases}
tem infinitas soluções.

Question

15. Determine os valores de k para os quais o sistema
\begin{cases}
 x + y = 2 \
 kx + 2y = 4
\end{cases}
tem infinitas soluções.

Accepted Answer

Para que o sistema tenha infinitas soluções, as duas equações precisam ser múltiplos uma da outra. Vamos analisar:

1. $x + y = 2$
2. $kx + 2y = 4$

Multiplicando a primeira equação por um número $m$, precisamos que ela se torne igual à segunda:

$$ m(x + y) = mx + my = 2mx $$

Queremos que:

$$ mx = kx \quad \text{e} \quad my = 2y \quad \text{e} \quad 2m = 4 $$

Da segunda igualdade, temos:

$$ m = 2 $$

Substituindo $m = 2$ na primeira igualdade:

$$ 2x = kx $$

Portanto, $k = 2$.

**Resposta: $k = 2$**

Assim, para $k = 2$, o sistema terá infinitas soluções.

15. Determine os valores de k para os quais o sistema \begin{cases} x + y = 2 \\ kx + 2y = 4 \end{cases} tem infinitas soluções.