15. Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com a média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha: a) dez ou mais chamadas; b) menos que nove chamadas; c) entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.
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Thiago
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13/12/24

Question

15. Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com a média de oito chamadas por minuto. Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha: a) dez ou mais chamadas; b) menos que nove chamadas; c) entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas.

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Thiago

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13/12/24

Accepted Answer

Para resolver essa questão usando a distribuição de Poisson, utilizamos a fórmula:

$$ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$

onde $\lambda$ é a média (8 chamadas por minuto) e $k$ é o número de chamadas.

### a) Dez ou mais chamadas

Queremos calcular $P(X \geq 10)$.

$$ P(X \geq 10) = 1 - P(X < 10) $$

Calculamos a soma das probabilidades de 0 a 9 chamadas:

$$ P(X < 10) = \sum_{k=0}^{9} \frac{e^{-8} 8^k}{k!} $$

Depois, subtraímos o resultado de 1.

### b) Menos que nove chamadas

Queremos calcular $P(X < 9)$.

$$ P(X < 9) = \sum_{k=0}^{8} \frac{e^{-8} 8^k}{k!} $$

### c) Entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas

Queremos calcular $P(7 \leq X < 9)$.

$$ P(7 \leq X < 9) = P(X = 7) + P(X = 8) $$

$$ P(X = 7) = \frac{e^{-8} 8^7}{7!} $$

$$ P(X = 8) = \frac{e^{-8} 8^8}{8!} $$

### Cálculos

Usando uma calculadora ou software para calcular essas somas:

- **a)** $P(X \geq 10) \approx 0.332$
- **b)** $P(X < 9) \approx 0.624$
- **c)** $P(7 \leq X < 9) \approx 0.284$

Esses valores são aproximados e podem variar levemente dependendo da precisão dos cálculos utilizados.