15) Os frutos de uma árvore atacados por uma moléstia foram apodrecendo dia após dia, segundo os termos de uma progressão geométrica de 1º termo 1 e razão 3, isto é, no 1º dia apodreceu 1 fruto, no 2º dia 3 outros, no 3º dia 9 outros e assim sucessivamente. Se no 7º dia apodreceram os últimos frutos, o número máximo de frutos atacados pela moléstia foi:

Para resolver este problema, vamos considerar que o número de frutos apodrecidos a cada dia forma uma progressão geométrica (PG) com primeiro termo $a_1 = 1$ e razão $r = 3$.

A fórmula para o enésimo termo de uma PG é:

$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$

Para o 7º dia:

$$a_7 = 1 \cdot 3^{7-1} = 3^6$$

Agora, calculamos $3^6$:

$$3^6 = 729$$

Isso significa que no 7º dia, 729 frutos apodreceram.

Para encontrar o número total de frutos apodrecidos ao longo dos 7 dias, somamos todos os termos da PG até o 7º termo. A soma dos termos de uma PG é dada por:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$

Substituindo os valores:

$$S_7 = 1 \cdot \frac{3^7 - 1}{3 - 1}$$

Calculando $3^7$:

$$3^7 = 2187$$

Portanto, a soma é:

$$S_7 = \frac{2187 - 1}{2} = \frac{2186}{2} = 1093$$

Assim, o número máximo de frutos atacados pela moléstia foi 1093.