15. Um triângulo retângulo possui a hipotenusa e um cateto medindo 6 cm e 3,6cm , respectivamente. Determine:
a) a medida do outro cateto;
b) a medida da altura relativa à hipotenusa;
c) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Question

Accepted Answer

Para resolver as questões sobre o triângulo retângulo, vamos utilizar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades geométricas.

### a) Medida do outro cateto

O Teorema de Pitágoras nos diz que em um triângulo retângulo:

$$
c^2 = a^2 + b^2
$$

onde $ c $ é a hipotenusa, $ a $ e $ b $ são os catetos. Sabemos que $ c = 6 $ cm e $ a = 3,6 $ cm. Vamos encontrar $ b $.

$$
6^2 = 3,6^2 + b^2
$$

$$
36 = 12,96 + b^2
$$

$$
36 - 12,96 = b^2
$$

$$
23,04 = b^2
$$

$$
b = \sqrt{23,04}
$$

$$
b \approx 4,8 \text{ cm}
$$

### b) Medida da altura relativa à hipotenusa

A altura relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo pode ser encontrada usando a fórmula:

$$
h = \frac{a \cdot b}{c}
$$

Substituindo os valores:

$$
h = \frac{3,6 \cdot 4,8}{6}
$$

$$
h = \frac{17,28}{6}
$$

$$
h = 2,88 \text{ cm}
$$

### c) Medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa

As projeções dos catetos sobre a hipotenusa $ p_a $ e $ p_b $ podem ser encontradas usando as fórmulas:

$$
p_a = \frac{a^2}{c}
$$
$$
p_b = \frac{b^2}{c}
$$

Substituindo os valores:

$$
p_a = \frac{3,6^2}{6}
$$

$$
p_a = \frac{12,96}{6}
$$

$$
p_a = 2,16 \text{ cm}
$$

$$
p_b = \frac{4,8^2}{6}
$$

$$
p_b = \frac{23,04}{6}
$$

$$
p_b = 3,84 \text{ cm}
$$

Portanto, as respostas são:
a) A medida do outro cateto é aproximadamente 4,8 cm.
b) A medida da altura relativa à hipotenusa é 2,88 cm.
c) As medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa são 2,16 cm e 3,84 cm.

15. Um triângulo retângulo possui a hipotenusa e um cateto medindo 6 cm e 3,6cm , respectivamente. Determine: a) a medida do outro cateto; b) a medida da altura relativa à hipotenusa; c) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.