16. Classifique os sistemas abaixo em determinado (D), impossível (IM) ou indeterminado (IN), dizendo qual o tipo de reta que representa cada um dos casos.
a) $ \left\{\begin{array}{l}2 x+y=5 \ x-3 y=2\end{array}\right. $
b) $ \left\{\begin{array}{l}3 x+3 y=6 \ x+y=2\end{array}\right. $
c) $ \left\{\begin{array}{l}4 x+4 y=3 \ 2 x+2 y=5\end{array}\right. $
d) $ \left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=10 \ 2 x+4 y=6\end{array}\right. $

Question

Accepted Answer

Para classificar os sistemas e determinar o tipo de reta que representam, precisamos analisar as equações lineares fornecidas. Vamos resolver cada um dos sistemas:

a) $ \left\{\begin{array}{l}2 x+y=5 \ x-3 y=2\end{array}\right. $

Para resolver este sistema, podemos usar o método da substituição ou eliminação. Vamos usar o método da eliminação.

Multiplicamos a segunda equação por 2 para igualar os coeficientes de $x$:

$$
\begin{cases}
2x + y = 5 \
2x - 6y = 4
\end{cases}
$$

Subtraímos a primeira equação da segunda:

$$
(2x - 6y) - (2x + y) = 4 - 5 \
-7y = -1 \
y = \frac{1}{7}
$$

Substituímos $y$ na primeira equação:

$$
2x + \frac{1}{7} = 5 \
2x = 5 - \frac{1}{7} \
2x = \frac{35}{7} - \frac{1}{7} \
2x = \frac{34}{7} \
x = \frac{17}{7}
$$

Portanto, o sistema é **determinado (D)** e representa duas retas concorrentes que se cruzam em um ponto.

b) $ \left\{\begin{array}{l}3 x+3 y=6 \ x+y=2\end{array}\right. $

Vamos simplificar a primeira equação dividindo tudo por 3:

$$
\begin{cases}
x + y = 2 \
x + y = 2
\end{cases}
$$

As duas equações são equivalentes, então o sistema é **indeterminado (IN)** e representa duas retas coincidentes.

c) $ \left\{\begin{array}{l}4 x+4 y=3 \ 2 x+2 y=5\end{array}\right. $

Vamos simplificar ambas as equações:

Dividindo a primeira equação por 4:

$$
x + y = \frac{3}{4}
$$

Dividindo a segunda equação por 2:

$$
x + y = \frac{5}{2}
$$

Temos:

$$
\begin{cases}
x + y = \frac{3}{4} \
x + y = \frac{5}{2}
\end{cases}
$$

As equações resultantes são contraditórias, então o sistema é **impossível (IM)** e representa duas retas paralelas distintas.

d) $ \left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=10 \ 2 x+4 y=6\end{array}\right. $

Multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para igualar os coeficientes de $x$:

$$
\begin{cases}
6x + 4y = 20 \
6x + 12y = 18
\end{cases}
$$

Subtraímos a primeira equação da segunda:

$$
(6x + 12y) - (6x + 4y) = 18 - 20 \
8y = -2 \
y = -\frac{1}{4}
$$

Substituímos $y$ na primeira equação:

$$
3x + 2 \left(-\frac{1}{4}\right) = 10 \
3x - \frac{1}{2} = 10 \
3x = 10 + \frac{1}{2} \
3x = \frac{20}{2} + \frac{1}{2} \
3x = \frac{21}{2} \
x = \frac{21}{6} \
x = \frac{7}{2}
$$

Portanto, o sistema é **determinado (D)** e representa duas retas concorrentes que se cruzam em um ponto.

**Resumo:**
a) **Determinado (D)** - Retas concorrentes.
b) **Indeterminado (IN)** - Retas coincidentes.
c) **Impossível (IM)** - Retas paralelas.
d) **Determinado (D)** - Retas concorrentes.

16. Classifique os sistemas abaixo em determinado (D), impos...

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