16. Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume $ 350 \mathrm{ml} $ de modo que o material gasto na confecção da lata seja mínimo $ \left(1 \mathrm{ml}=1 \mathrm{~cm}^{3}\right. $ ).

Question

Accepted Answer

Para determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica com volume de $350 \, \text{ml}$ (ou $350 \, \text{cm}^3$), de modo que o material gasto na confecção da lata seja mínimo, precisamos minimizar a área da superfície do cilindro.

Primeiro, vamos definir as variáveis:
- $ r $ é o raio da base do cilindro.
- $ h $ é a altura do cilindro.

O volume $ V $ do cilindro é dado por:
$$ V = \pi r^2 h $$

Sabemos que $ V = 350 \, \text{cm}^3 $, então:
$$ 350 = \pi r^2 h $$
$$ h = \frac{350}{\pi r^2} $$

A área da superfície $ A $ do cilindro, que inclui as duas bases e a superfície lateral, é dada por:
$$ A = 2\pi r^2 + 2\pi rh $$

Substituindo $ h $ na equação da área:
$$ A = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{350}{\pi r^2} \right) $$
$$ A = 2\pi r^2 + \frac{700}{r} $$

Para minimizar a área $ A $, derivamos $ A $ em relação a $ r $ e igualamos a zero:
$$ \frac{dA}{dr} = 4\pi r - \frac{700}{r^2} $$
$$ 4\pi r - \frac{700}{r^2} = 0 $$

Multiplicando ambos os lados da equação por $ r^2 $:
$$ 4\pi r^3 = 700 $$
$$ r^3 = \frac{700}{4\pi} $$
$$ r^3 = \frac{175}{\pi} $$
$$ r = \sqrt[3]{\frac{175}{\pi}} $$

Calculando o valor numérico:
$$ r \approx \sqrt[3]{\frac{175}{3.14159}} $$
$$ r \approx \sqrt[3]{55.755} $$
$$ r \approx 3.84 \, \text{cm} $$

Portanto, o raio da base da lata de refrigerante deve ser aproximadamente $ 3.84 \, \text{cm} $ para minimizar o material gasto na sua confecção.

16. Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante ci...

Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume $350 \mathrm{ml}$ de modo que o material gasto na confecção da lata seja mínimo $\left(1 \mathrm{ml}=1 \mathrm{~cm}^{3}\right.$ ).

Ask a question and receive an answer instantly

16. Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante ci...

Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume 350ml350 \mathrm{ml}350ml de modo que o material gasto na confecção da lata seja mínimo (1ml=1 cm3\left(1 \mathrm{ml}=1 \mathrm{~cm}^{3}\right.(1ml=1 cm3 ).

Ask a question and receive an answer instantly

Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume $350 \mathrm{ml}$ de modo que o material gasto na confecção da lata seja mínimo $\left(1 \mathrm{ml}=1 \mathrm{~cm}^{3}\right.$ ).