16. Um topógrafo pretende medir a distância entre dois pontos (A e B) situados em margens opostas de um rio. Para isso, ele escolheu um ponto C na margem que está entre os ângulos ACB e CAB, encontrando, respectivamente, 60° e 75°. Mediu também o lado AC e encontrou 16m.
O
OPUSHERE
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20/08/24

Question

16. Um topógrafo pretende medir a distância entre dois pontos (A e B) situados em margens opostas de um rio. Para isso, ele escolheu um ponto C na margem que está entre os ângulos ACB e CAB, encontrando, respectivamente, 60° e 75°. Mediu também o lado AC e encontrou 16m.

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20/08/24

Accepted Answer

Para resolver essa questão, podemos usar a Lei dos Senos no triângulo $ \triangle ABC $.

Dados:
- Ângulo $ ACB = 60^\circ $
- Ângulo $ CAB = 75^\circ $
- Lado $ AC = 16 \, m $

Primeiro, calculamos o ângulo $ ABC $ usando a soma dos ângulos internos de um triângulo:

$$
ABC = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ = 45^\circ
$$

Agora, aplicamos a Lei dos Senos:

$$
\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ}
$$

Substituímos os valores conhecidos:

$$
\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
$$

Resolvendo para $ AB $:

$$
AB = \frac{16 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
$$

Simplificando:

$$
AB = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
$$

Multiplicando por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ para racionalizar:

$$
AB = 16 \times \frac{\sqrt{6}}{2} = 8\sqrt{6} \, m
$$

Portanto, a distância entre os pontos $ A $ e $ B $ é $ 8\sqrt{6} \, m $.