16. Uma folha retangular de cartolina tem comprimento 18cm e largura 10cm. Recortam-se dessa folha quatro quadrados congruentes de modo que cada um deles tenha um dos vértices em um vértice da folha, formando-se uma superfície aberta de um paralelepípedo reto-retângulo:

H10cm

Determine o volume da caixa, sabendo que a medida da diagonal da caixa construída mede 13cm?

17. Um fazendeiro vende leite em uma embalagem de papelão que tem a forma de um prisma reto de base quadrada, com dimensões 10, 10 cm e 12 cm. Ele pretende vender outro tipo de leite numa nova embalagem, que tem a forma de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de 30 cm de perímetro.

a) Qual deve ser a altura da nova embalagem para que ela tenha o mesmo volume da primeira?

b) Na fabricação de qual das duas embalagens será usada uma menor quantidade de papelão? De quanto será a diferença? (Considere √3 = 1,7)

Question

16. Uma folha retangular de cartolina tem comprimento 18cm e largura 10cm. Recortam-se dessa folha quatro quadrados congruentes de modo que cada um deles tenha um dos vértices em um vértice da folha, formando-se uma superfície aberta de um paralelepípedo reto-retângulo:

H10cm

Determine o volume da caixa, sabendo que a medida da diagonal da caixa construída mede 13cm?

17. Um fazendeiro vende leite em uma embalagem de papelão que tem a forma de um prisma reto de base quadrada, com dimensões 10, 10 cm e 12 cm. Ele pretende vender outro tipo de leite numa nova embalagem, que tem a forma de um prisma reto, cuja base é um triângulo equilátero de 30 cm de perímetro.

a) Qual deve ser a altura da nova embalagem para que ela tenha o mesmo volume da primeira?

b) Na fabricação de qual das duas embalagens será usada uma menor quantidade de papelão? De quanto será a diferença? (Considere √3 = 1,7)

Accepted Answer

Vamos resolver os problemas:

16. Para determinar o volume da caixa, precisamos saber a altura que foi recortada dos quadrados.

Sabemos que a diagonal da caixa construída mede 13 cm. A diagonal de um paralelepípedo reto-retângulo é dada por:

$$
d = \sqrt{c^2 + l^2 + h^2}
$$

Onde $c$, $l$ e $h$ são as dimensões da caixa. Temos:
- Comprimento ($c$) = 18 - 2x
- Largura ($l$) = 10 - 2x
- Altura ($h$) = $x$

E a diagonal $d = 13$.

Substituindo na fórmula da diagonal:

$$
13 = \sqrt{(18 - 2x)^2 + (10 - 2x)^2 + x^2}
$$

Resolvendo essa equação, encontramos o valor de $x$ e, em seguida, calculamos o volume $V$ da caixa:

$$
V = (18 - 2x)(10 - 2x)x
$$

17.

a) O volume da primeira embalagem é:

$$
V_1 = 10 \times 10 \times 12 = 1200 \, \text{cm}^3
$$

Para a nova embalagem com base triangular equilátera de perímetro 30 cm, cada lado do triângulo é $10 \, \text{cm}$. A área da base $A$ é:

$$
A = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{10^2 \times 1,7}{4} = 42,5 \, \text{cm}^2
$$

Para ter o mesmo volume:

$$
V_2 = A \times h = 1200 \implies 42,5 \times h = 1200 \implies h = \frac{1200}{42,5} \approx 28,24 \, \text{cm}
$$

b) Comparando a quantidade de papelão:

Área da primeira embalagem:

$$
A_1 = 2(10 \times 10) + 4(10 \times 12) = 200 + 480 = 680 \, \text{cm}^2
$$

Área da nova embalagem:

$$
A_2 = 2 \times 42,5 + 3 \times 10 \times 28,24 = 85 + 847,2 = 932,2 \, \text{cm}^2
$$

A primeira embalagem usa menos papelão.

Diferença:

$$
932,2 - 680 = 252,2 \, \text{cm}^2
$$