161. Dê o domínio das seguintes funções reals: a) \( f(x)=3 x+2 \) d) \( p(x)=\sqrt{x-1} \) g) \( s(x)=\sqrt[3]{2 x-1} \) b) \( g(x)=\frac{1}{x+2} \) e) \( q(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}} \) h) \( t(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{2 x}+3} \) c) \( h(x)=\frac{x-1}{x^{2}-4} \) f) \( r(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-2} \) i) \( u(x)=\frac{\sqrt[3]{x+2}}{x-3} \) 162. Sendo \( x \geqslant 4 \), determine o conjunto imagem da função \( y=\sqrt{x}+\sqrt{x-4} \), 163. Se f: \( A \rightarrow B \) é uma função e se \( D \subset A \), chamamos de imagem de \( D \) pela função \( f \) ao conjunto anotado e definido por: \( f\langle D\rangle=\{y \in B \mid \) existe \( x \in D \) tal que \( f(x)=y\} \) Se g é a função de \( \mathbb{R} \) em \( \mathbb{R} \) cujo gráfico está representado ao lado, determine a imagem de g do intervalo fechado \( [5 ; 9] \). V. Funções iguais 79. Duas funções \( f: A \rightarrow B \) e \( g: C \rightarrow D \) são iguais se, e somente se, apresentarem: a) domínios iguais \( (A=C) \); b) contradomínios iguais \( (B=D) \); c) \( f(x)=g(x) \) para todo \( x \) do domínio. Isso equivale a dizer que duas funções \( f \) e \( g \) são iguais se, e somente se, forem conjuntos iguais de pares ordenados.

Vamos determinar o domínio das funções reais dadas uma por uma:

a) $f(x)=3x+2$

O domínio de $f$ é todo o conjunto dos números reais, $\mathbb{R}$, pois não há restrições para $x$.

d) $p(x)=\sqrt{x-1}$

Para que a expressão sob a raiz quadrada seja válida, ela precisa ser maior ou igual a 0. Assim, temos:

$$x-1 \geq 0$$ $$x \geq 1$$

Portanto, o domínio de $p$ é $x \geq 1$ ou, em notação de intervalo, $[1, \infty)$.

g) $s(x)=\sqrt[3]{2x-1}$

A raiz cúbica está definida para todos os números reais, então o domínio de $s$ é $\mathbb{R}$.

b) $g(x)=\frac{1}{x+2}$

A expressão não está definida quando o denominador é igual a 0. Assim, temos:

$$x+2 \neq 0$$ $$x \neq -2$$

Portanto, o domínio de $g$ é todos os reais exceto $-2$, ou seja, $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

e) $q(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$

Para que a expressão sob a raiz quadrada seja válida e o denominador não seja zero, $x+1$ deve ser maior que 0. Assim:

$$x+1 > 0$$ $$x > -1$$

Portanto, o domínio de $q$ é $x > -1$ ou, em notação de intervalo, $(-1, \infty)$.

h) $t(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{2x}+3}$

Não há restrições para o valor sob a raiz cúbica, mas precisamos garantir que o denominador não seja zero. Para isso, vamos resolver a equação $\sqrt[3]{2x} + 3 = 0$, mas percebemos que isso não restringe $x$ no conjunto dos reais, pois a raiz cúbica pode assumir qualquer valor real. Portanto, o domínio de $t$ é $\mathbb{R}$.

c) $h(x)=\frac{x-1}{x^2-4}$

O denominador não pode ser zero. Fatorando o denominador, temos:

$$x^2-4 = (x-2)(x+2)$$ $$(x-2)(x+2) \neq 0$$ $$x \neq 2 \text{ e } x \neq -2$$

Portanto, o domínio de $h$ é $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

f) $r(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-2}$

Para a expressão sob a raiz quadrada ser válida, $x+2$ deve ser maior ou igual a 0, e o denominador não pode ser zero. Assim:

$$x+2 \geq 0$$ $$x \geq -2$$

E

$$x-2 \neq 0$$ $$x \neq 2$$

Portanto, o domínio de $r$ é $x \geq -2$ exceto $x = 2$, ou seja, $[-2, \infty) \setminus \{2\}$.

i) $u(x)=\frac{\sqrt[3]{x+2}}{x-3}$

Não há restrições para o valor sob a raiz cúbica, mas o denominador não pode ser zero. Assim:

$$x-3 \neq 0$$ $$x \neq 3$$

Portanto, o domínio de $u$ é $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.

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Para a questão 162, dado $x \geqslant 4$, queremos determinar o conjunto imagem da função $y=\sqrt{x}+\sqrt{x-4}$.

Como $x$ aumenta a partir de 4, tanto $\sqrt{x}$ quanto $\sqrt{x-4}$ aumentam. No ponto inicial, quando $x=4$, temos:

$$y = \sqrt{4} + \sqrt{4-4} = 2 + 0 = 2$$

À medida que $x$ se torna muito grande, ambos os termos sob as raízes quadradas crescem, e assim $y$ também cresce sem limite. Portanto, o conjunto imagem é $[2, \infty)$.

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Para a questão 163, sem uma imagem específica do gráfico da função $g$, não posso fornecer uma resposta exata. A imagem de $g$ do intervalo fechado $[5; 9]$ dependeria do comportamento específico de $g$ nesse intervalo, o qual precisaria ser analisado diretamente do gráfico fornecido.

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Na seção V sobre Funções iguais, a descrição está correta: duas funções são iguais se possuem os mesmos domínios, contradomínios, e se $f(x) = g(x)$ para todo $x$ no domínio comum.