166 | MATEMÁTICA
4. Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano sendo, a origem, o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas, todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema.

A seguir, há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Suponha que Vitor tenha saído do estabelecimento A para o estabelecimento B. Quando estava no estabelecimento B, lembrou que devia comprar um presente para sua mãe no estabelecimento C. De C, foi para D e, finalmente, lembrou que tinha esquecido o celular no estabelecimento $ A $ e voltou para buscá-lo.

Question

166 | MATEMÁTICA
4. Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano sendo, a origem, o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas, todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema.

A seguir, há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.

Suponha que Vitor tenha saído do estabelecimento A para o estabelecimento B. Quando estava no estabelecimento B, lembrou que devia comprar um presente para sua mãe no estabelecimento C. De C, foi para D e, finalmente, lembrou que tinha esquecido o celular no estabelecimento $ A $ e voltou para buscá-lo.

Accepted Answer

Para resolver a questão, precisamos calcular a distância total percorrida por Vitor. Vamos analisar cada trecho do caminho.

1. **De $ A $ para $ B $:**
   Suponhamos que $ A $ está em $(x_1, y_1)$ e $ B $ está em $(x_2, y_2)$. A distância entre esses dois pontos no sistema cartesiano é dada pela fórmula da distância Euclidiana:
   $$
   d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
   $$

2. **De $ B $ para $ C $:**
   Suponhamos que $ C $ está em $(x_3, y_3)$. A distância entre $ B $ e $ C $ é:
   $$
   d(B, C) = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2}
   $$

3. **De $ C $ para $ D $:**
   Suponhamos que $ D $ está em $(x_4, y_4)$. A distância entre $ C $ e $ D $ é:
   $$
   d(C, D) = \sqrt{(x_4 - x_3)^2 + (y_4 - y_3)^2}
   $$

4. **De $ D $ para $ A $:**
   A distância entre $ D $ e $ A $ é:
   $$
   d(D, A) = \sqrt{(x_1 - x_4)^2 + (y_1 - y_4)^2}
   $$

A distância total percorrida por Vitor é a soma dessas distâncias:
$$
d_{\text{total}} = d(A, B) + d(B, C) + d(C, D) + d(D, A)
$$

Vamos considerar que os pontos $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ estão em posições específicas no plano cartesiano. Supondo que:
- $ A = (0, 0) $
- $ B = (3, 0) $
- $ C = (3, 2) $
- $ D = (1, 2) $

Podemos calcular as distâncias individualmente:

1. **De $ A $ para $ B $:**
   $$
   d(A, B) = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{9} = 3
   $$

2. **De $ B $ para $ C $:**
   $$
   d(B, C) = \sqrt{(3 - 3)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2
   $$

3. **De $ C $ para $ D $:**
   $$
   d(C, D) = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{4} = 2
   $$

4. **De $ D $ para $ A $:**
   $$
   d(D, A) = \sqrt{(0 - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
   $$

Portanto, a distância total percorrida por Vitor é:
$$
d_{\text{total}} = 3 + 2 + 2 + \sqrt{5} = 7 + \sqrt{5}
$$

Assim, a distância total percorrida por Vitor é $ 7 + \sqrt{5} $ unidades.

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