17 Verifique se as equações abaixo representam circunferências. Em caso afirmativo, forneça o centro e a medida do raio da circunferência que cada uma representa.

a) x² + y² - 10x - 2y + 17 = 0.
b) x² + y² + 12x - 12y + 73 = 0.
c) x² + y² + 2x + 6y = 0.
d) x² + 2y² + 4x + 18y - 100 = 0.
e) x² + 3y² - 4 = 0.
f) x² + 2y - 4x - 17 = 0.
g) x² + y² - 20x + 99 = 0.
h) (x - 1)² + (y + 3)² + 3 = 0.

18 Determine as coordenadas do centro e a medida do raio de cada circunferência:

a) x² + y² - 6y = 0.
b) x² + y² + 2x + 4y - 1 = 0.
c) x² + y² - 4x + 6y + 4 = 0.
d) 2x² + 2y² + 16x - 32y + 134 = 0.

19 Transforme, conforme o caso, a forma geral da equação da circunferência em reduzida (ou vice-versa):

a) 2x² + 2y² + 4x - 8y + 9 = 0.
b) (x - 4)² + (y + 2)² = 9.
c) x² + y² - 5x - 9y + 3/2 = 0.
d) (x + 1)² + (y + 2)² = 1/4.

20 Escreva a equação geral da circunferência que passa:

a) pela origem e tem centro C(-1, -4).
b) por (-1, -4) e tem centro na origem.

21 Calcule a distância do ponto P(4, 6) ao centro da circunferência de equação x² + y² - 2x - 4y - 3 = 0.

22 Determine os valores reais de k para que a equação x² + y² - 2x + 10y - k + 28 = 0 seja de uma circunferência.

23 Determine o maior valor inteiro de k de modo que x² + y² + 6x + 14y + k = 0 seja equação de uma circunferência.

Question

17 Verifique se as equações abaixo representam circunferências. Em caso afirmativo, forneça o centro e a medida do raio da circunferência que cada uma representa.

a) x² + y² - 10x - 2y + 17 = 0.
b) x² + y² + 12x - 12y + 73 = 0.
c) x² + y² + 2x + 6y = 0.
d) x² + 2y² + 4x + 18y - 100 = 0.
e) x² + 3y² - 4 = 0.
f) x² + 2y - 4x - 17 = 0.
g) x² + y² - 20x + 99 = 0.
h) (x - 1)² + (y + 3)² + 3 = 0.

18 Determine as coordenadas do centro e a medida do raio de cada circunferência:

a) x² + y² - 6y = 0.
b) x² + y² + 2x + 4y - 1 = 0.
c) x² + y² - 4x + 6y + 4 = 0.
d) 2x² + 2y² + 16x - 32y + 134 = 0.

19 Transforme, conforme o caso, a forma geral da equação da circunferência em reduzida (ou vice-versa):

a) 2x² + 2y² + 4x - 8y + 9 = 0.
b) (x - 4)² + (y + 2)² = 9.
c) x² + y² - 5x - 9y + 3/2 = 0.
d) (x + 1)² + (y + 2)² = 1/4.

20 Escreva a equação geral da circunferência que passa:

a) pela origem e tem centro C(-1, -4).
b) por (-1, -4) e tem centro na origem.

21 Calcule a distância do ponto P(4, 6) ao centro da circunferência de equação x² + y² - 2x - 4y - 3 = 0.

22 Determine os valores reais de k para que a equação x² + y² - 2x + 10y - k + 28 = 0 seja de uma circunferência.

23 Determine o maior valor inteiro de k de modo que x² + y² + 6x + 14y + k = 0 seja equação de uma circunferência.

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Claro! Vamos resolver as questões:

### 17. Verifique se as equações representam circunferências e forneça o centro e o raio.

Para que uma equação represente uma circunferência, ela deve estar na forma:
$$
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
$$
E deve ser possível completar o quadrado para encontrar o centro $(h, k)$ e o raio $r$.

#### a) $x^2 + y^2 - 10x - 2y + 17 = 0$

Complete o quadrado:

- $x^2 - 10x$ $\Rightarrow$ $(x - 5)^2 - 25$
- $y^2 - 2y$ $\Rightarrow$ $(y - 1)^2 - 1$

Substituindo na equação:
$$
(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 9
$$

Centro: $(5, 1)$, Raio: $3$

#### b) $x^2 + y^2 + 12x - 12y + 73 = 0$

Complete o quadrado:

- $x^2 + 12x$ $\Rightarrow$ $(x + 6)^2 - 36$
- $y^2 - 12y$ $\Rightarrow$ $(y - 6)^2 - 36$

Substituindo na equação:
$$
(x + 6)^2 + (y - 6)^2 = -1
$$

Não representa uma circunferência.

#### c) $x^2 + y^2 + 2x + 6y = 0$

Complete o quadrado:

- $x^2 + 2x$ $\Rightarrow$ $(x + 1)^2 - 1$
- $y^2 + 6y$ $\Rightarrow$ $(y + 3)^2 - 9$

Substituindo na equação:
$$
(x + 1)^2 + (y + 3)^2 = 10
$$

Centro: $(-1, -3)$, Raio: $\sqrt{10}$

#### d) $x^2 + 2y^2 + 4x + 18y - 100 = 0$

Não é uma circunferência pois os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ são diferentes.

#### e) $x^2 + 3y^2 - 4 = 0$

Não é uma circunferência pois os coeficientes de $x^2$ e $y^2$ são diferentes.

#### f) $x^2 + y^2 + 4x - 4y - 17 = 0$

Complete o quadrado:

- $x^2 + 4x$ $\Rightarrow$ $(x + 2)^2 - 4$
- $y^2 - 4y$ $\Rightarrow$ $(y - 2)^2 - 4$

Substituindo na equação:
$$
(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 25
$$

Centro: $(-2, 2)$, Raio: $5$

#### g) $x^2 + y^2 - 20x + 99 = 0$

Complete o quadrado:

- $x^2 - 20x$ $\Rightarrow$ $(x - 10)^2 - 100$

Substituindo na equação:
$$
(x - 10)^2 + y^2 = 1
$$

Centro: $(10, 0)$, Raio: $1$

#### h) $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 3$

Já está na forma reduzida.

Centro: $(1, -3)$, Raio: $\sqrt{3}$

### 18. Determine as coordenadas do centro e a medida do raio de cada circunferência.

#### a) $x^2 + y^2 - 6y = 0$

Complete o quadrado para $y$:

- $y^2 - 6y$ $\Rightarrow$ $(y - 3)^2 - 9$

$$
x^2 + (y - 3)^2 = 9
$$

Centro: $(0, 3)$, Raio: $3$

#### b) $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 1 = 0$

Complete o quadrado:

- $x^2 + 2x$ $\Rightarrow$ $(x + 1)^2 - 1$
- $y^2 + 4y$ $\Rightarrow$ $(y + 2)^2 - 4$

$$
(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 6
$$

Centro: $(-1, -2)$, Raio: $\sqrt{6}$

#### c) $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$

Complete o quadrado:

- $x^2 - 4x$ $\Rightarrow$ $(x - 2)^2 - 4$
- $y^2 + 6y$ $\Rightarrow$ $(y + 3)^2 - 9$

$$
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9
$$

Centro: $(2, -3)$, Raio: $3$

#### d) $2x^2 + 2y^2 + 16x - 32y + 134 = 0$

Divida por 2:

$x^2 + y^2 + 8x - 16y + 67 = 0$

Complete o quadrado:

- $x^2 + 8x$ $\Rightarrow$ $(x + 4)^2 - 16$
- $y^2 - 16y$ $\Rightarrow$ $(y - 8)^2 - 64$

$$
(x + 4)^2 + (y - 8)^2 = 13
$$

Centro: $(-4, 8)$, Raio: $\sqrt{13}$

### 19. Transforme a forma geral em reduzida ou vice-versa.

#### a) $2x^2 + 2y^2 + 4x - 8y + 9 = 0$

Divida por 2 e complete o quadrado:

- $x^2 + 2x$ $\Rightarrow$ $(x + 1)^2 - 1$
- $y^2 - 4y$ $\Rightarrow$ $(y - 2)^2 - 4$

$$
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = \frac{-9}{2}
$$

Não representa uma circunferência.

#### b) $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 9$

Forma geral:

Expandindo:
$$
x^2 - 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 = 9
$$

Forma geral:
$x^2 + y^2 - 8x + 4y + 11 = 0$

#### c) $x^2 + y^2 - 5x - 9y + \frac{3}{2} = 0$

Complete o quadrado:

- $x^2 - 5x$ $\Rightarrow$ $(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4}$
- $y^2 - 9y$ $\Rightarrow$ $(y - \frac{9}{2})^2 - \frac{81}{4}$

$$
(x - \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{9}{2})^2 = \frac{109}{4}
$$

Centro: $\left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right)$, Raio: $\frac{\sqrt{109}}{2}$

#### d) $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = \frac{1}{4}$

Forma geral:

Expandindo:
$$
x^2 + 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = \frac{1}{4}
$$

Forma geral:
$x^2 + y^2 + 2x + 4y + \frac{15}{4} = 0$

Se precisar de mais alguma questão, estou à disposição!

17 Verifique se as equações abaixo representam circunferênci...

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