18. (Unirio)

Se Z1 e Z2 são números complexos Z representados pelos seus afixos no Plano de Argand-Gauss acima, então Z3 = Z1Z2 escrito na forma trigonométrica é:

Question

18. (Unirio)

Se Z1 e Z2 são números complexos Z representados pelos seus afixos no Plano de Argand-Gauss acima, então Z3 = Z1Z2 escrito na forma trigonométrica é:

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos primeiro identificar os números complexos $ z_1 $ e $ z_2 $ a partir do plano de Argand-Gauss.

### Identificação dos Números Complexos

- **$ z_1 $:** Tem coordenadas (-2, 2), então $ z_1 = -2 + 2i $.
- **$ z_2 $:** Tem coordenadas (1, 1), então $ z_2 = 1 + i $.

### Forma Trigonométrica

A forma trigonométrica de um número complexo $ z = a + bi $ é dada por:

$$
z = r(\cos \theta + i\sin \theta)
$$

onde $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $ é o módulo e $ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $ é o argumento.

#### Cálculo para $ z_1 $

- Módulo:

$$
r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
$$

- Argumento:

$$
\theta_1 = \tan^{-1}\left(\frac{2}{-2}\right) = \tan^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4} \quad (\text{no segundo quadrante})
$$

Forma trigonométrica de $ z_1 $:

$$
z_1 = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)
$$

#### Cálculo para $ z_2 $

- Módulo:

$$
r_2 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
$$

- Argumento:

$$
\theta_2 = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}
$$

Forma trigonométrica de $ z_2 $:

$$
z_2 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)
$$

### Produto $ z_3 = z_1 \cdot z_2 $

O produto de dois números complexos na forma trigonométrica é dado por:

$$
z_3 = r_1r_2 \left( \cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2) \right)
$$

Cálculo:

- Módulo:

$$
r_3 = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4
$$

- Argumento:

$$
\theta_3 = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \pi
$$

Portanto, a forma trigonométrica de $ z_3 $ é:

$$
z_3 = 4 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right)
$$

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