18ª Questão
Uma reta y=mx+3 é tangente à circunferência de equação |x-3|²+y²=9. A soma dos possíveis valores de m é:
(A) -4/3
(B) -3/4
(C) 0
(D) 3/4
(E) 3

Q: 18ª Questão Uma reta y=mx+3 é tangente à circunferência de equação |x-3|²+y²=9. A soma dos possíveis valores de m é: (A) -4/3 (B) -3/4 (C) 0 (D) 3/4 (E) 3

**Resposta: C** Para que a reta $y = mx + 3$ seja tangente à circunferência de equação $(x-3)^2 + y^2 = 9$, a distância do centro da circunferência à reta deve ser igual ao raio da circunferência. A circunferência tem centro em $ (3, 0) $ e raio $ r = 3 $. A equação da reta é $ y = mx + 3 $, ou seja, $ mx - y + 3 = 0 $. A fórmula para a distância de um ponto $(x_1, y_1)$ a uma reta $Ax + By + C = 0$ é: \[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Aplicando para o ponto $(3, 0)$: \[ d = \frac{|m \cdot 3 - 0 + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} \] Como $d = 3$, temos: \[ \frac{|3m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3 \] Multiplicando ambos os lados por $\sqrt{m^2 + 1}$: \[ |3m + 3| = 3\sqrt{m^2 + 1} \] Elevando ambos os lados ao quadrado: \[ (3m + 3)^2 = 9(m^2 + 1) \] Expandindo: \[ 9m^2 + 18m + 9 = 9m^2 + 9 \] Simplificando: \[ 18m + 9 = 9 \] \[ 18m = 0 \] \[ m = 0 \] Assim, a soma dos possíveis valores de $m$ é $0$.

Question

Accepted Answer

**Resposta: C**

Para que a reta $y = mx + 3$ seja tangente à circunferência de equação $(x-3)^2 + y^2 = 9$, a distância do centro da circunferência à reta deve ser igual ao raio da circunferência.

A circunferência tem centro em $ (3, 0) $ e raio $ r = 3 $.

A equação da reta é $ y = mx + 3 $, ou seja, $ mx - y + 3 = 0 $.

A fórmula para a distância de um ponto $(x_1, y_1)$ a uma reta $Ax + By + C = 0$ é:

$$
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
$$

Aplicando para o ponto $(3, 0)$:

$$
d = \frac{|m \cdot 3 - 0 + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}
$$

Como $d = 3$, temos:

$$
\frac{|3m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3
$$

Multiplicando ambos os lados por $\sqrt{m^2 + 1}$:

$$
|3m + 3| = 3\sqrt{m^2 + 1}
$$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$$
(3m + 3)^2 = 9(m^2 + 1)
$$

Expandindo:

$$
9m^2 + 18m + 9 = 9m^2 + 9
$$

Simplificando:

$$
18m + 9 = 9
$$

$$
18m = 0
$$

$$
m = 0
$$

Assim, a soma dos possíveis valores de $m$ é $0$.