19. H8 (UEPG) Num quadrilátero ABCD é traçada a diagonal BD. Considerando que AB = BC, BÂD = α, BĈD = β, ÂDB = γ e B̂DC = θ, assinale o que for correto:

01) $ \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{\sin \beta}{\sin \theta} $

02) Se $ \alpha $ é um ângulo reto, então $ \sin \gamma = \frac{AB}{BD} $

04) Se $ \alpha $ é um ângulo reto e $ \gamma = 30^\circ $, então $ BD = 2AB $.

08) Se $ \beta $ é um ângulo reto, então $ \cos \theta = \frac{AB}{BD} $.

16) $ \frac{\sin \gamma}{\sin \beta} = \frac{\sin \alpha}{\sin \theta} $

Soma: ( )

Question

19. H8 (UEPG) Num quadrilátero ABCD é traçada a diagonal BD. Considerando que AB = BC, BÂD = α, BĈD = β, ÂDB = γ e B̂DC = θ, assinale o que for correto:

01) $ \frac{\sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{\sin \beta}{\sin \theta} $

02) Se $ \alpha $ é um ângulo reto, então $ \sin \gamma = \frac{AB}{BD} $

04) Se $ \alpha $ é um ângulo reto e $ \gamma = 30^\circ $, então $ BD = 2AB $.

08) Se $ \beta $ é um ângulo reto, então $ \cos \theta = \frac{AB}{BD} $.

16) $ \frac{\sin \gamma}{\sin \beta} = \frac{\sin \alpha}{\sin \theta} $

Soma: ( )

Accepted Answer

Para resolver esta questão, analisemos cada uma das alternativas apresentadas:

---

### Dados:
- $ AB = BC $,
- Ângulo $ BÂD = \alpha $,
- Ângulo $ BCD = \beta $,
- Ângulo $ ADB = \gamma $,
- Ângulo $ BDC = \theta $.

Analisaremos as afirmativas:

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**01)** $ \frac{\sen \alpha}{\sen \gamma} = \frac{\sen \beta}{\sen \theta} $

Essa relação é verdadeira. Trata-se de uma propriedade que pode ser derivada da lei dos senos aplicada aos triângulos $ \triangle ABD $ e $ \triangle BCD $. Assim:

$$
\frac{\sen \alpha}{\sen \gamma} = \frac{\sen \beta}{\sen \theta}.
$$

---

**02)** Se $ \alpha $ é um ângulo reto, então $ \sen \gamma = \frac{AB}{BD} $.

Se $ \alpha = 90^\circ $, o triângulo $ \triangle ABD $ é retângulo em $ A $, e pela definição de seno no triângulo retângulo, temos:

$$
\sen \gamma = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{AB}{BD}.
$$

A afirmativa está correta.

---

**04)** Se $ \alpha $ é um ângulo reto e $ \gamma = 30^\circ $, então $ BD = 2AB $.

Se $ \alpha = 90^\circ $ e $ \gamma = 30^\circ $, o triângulo $ \triangle ABD $ é um triângulo retângulo com ângulos de $ 30^\circ $, $ 60^\circ $ e $ 90^\circ $. Nesse caso, a hipotenusa ($ BD $) é o dobro do menor lado ($ AB $):

$$
BD = 2AB.
$$

A afirmativa está correta.

---

**08)** Se $ \beta $ é um ângulo reto, então $ \cos \theta = \frac{AB}{BD} $.

Se $ \beta = 90^\circ $, o triângulo $ \triangle BCD $ é retângulo em $ C $, e pela definição de cosseno no triângulo retângulo, temos:

$$
\cos \theta = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{AB}{BD}.
$$

A afirmativa está correta.

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**16)** $ \frac{\sen \gamma}{\sen \alpha} = \frac{\sen \beta}{\sen \theta} $

Essa expressão é equivalente à da afirmativa **01**, que já verificamos ser verdadeira. Logo, esta também está correta.

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### Soma das alternativas corretas:
**01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31**

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**Resposta: 31.**

19. H8 (UEPG) Num quadrilátero ABCD é traçada a diagonal BD....

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