19. H9 (UEPG) Dois poliedros regulares são construídos utilizando folhas de cartolina. Um desses poliedros tem faces pentagonais e o outro tem faces triangulares. Se a soma de todas as faces desses poliedros é 20, assinale o que for correto.

01) A soma dos ângulos de todas as faces do poliedro que tem faces pentagonais é 6.480º.
02) O poliedro com faces triangulares tem 8 vértices a menos que o outro.
04) Os dois poliedros têm o mesmo número de arestas.
08) A soma de todas as arestas desses poliedros é maior que 40.

Soma: ( )

Question

19. H9 (UEPG) Dois poliedros regulares são construídos utilizando folhas de cartolina. Um desses poliedros tem faces pentagonais e o outro tem faces triangulares. Se a soma de todas as faces desses poliedros é 20, assinale o que for correto.

01) A soma dos ângulos de todas as faces do poliedro que tem faces pentagonais é 6.480º.
02) O poliedro com faces triangulares tem 8 vértices a menos que o outro.
04) Os dois poliedros têm o mesmo número de arestas.
08) A soma de todas as arestas desses poliedros é maior que 40.

Soma: ( )

Accepted Answer

Para resolver essa questão, é importante identificar quais são os poliedros regulares mencionados:

1. **Poliedro com faces pentagonais**: Este é o dodecaedro, que possui 12 faces pentagonais.
2. **Poliedro com faces triangulares**: Este é o icosaedro, que possui 20 faces triangulares.

Sabendo que a soma das faces é 20, podemos confirmar que se trata de um dodecaedro e um icosaedro.

Vamos analisar as afirmações:

01) A soma dos ângulos de todas as faces do poliedro que tem faces pentagonais é $6.480^\circ$.

- Cada pentágono tem um ângulo interno de $108^\circ$. O dodecaedro tem 12 faces, então a soma dos ângulos internos é:
  $$
  12 \times (5 \times 108) = 6.480^\circ
  $$
  **Verdadeiro.**

02) O poliedro com faces triangulares tem 8 vértices a menos que o outro.

- O dodecaedro tem 20 vértices e o icosaedro tem 12 vértices. Portanto, a diferença é 8.
  **Verdadeiro.**

04) Os dois poliedros têm o mesmo número de arestas.

- O dodecaedro tem 30 arestas e o icosaedro também tem 30 arestas.
  **Verdadeiro.**

08) A soma de todas as arestas desses poliedros é maior que 40.

- A soma das arestas é $30 + 30 = 60$, que é maior que 40.
  **Verdadeiro.**

Portanto, todas as afirmações são verdadeiras.

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