19 Nesta figura, AB // CD. Sabendo que a medida de perímetro do triângulo ABE é 72 cm, determine no caderno as medidas de comprimento x, y e m.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar a semelhança de triângulos. Como $ AB \parallel CD $, os triângulos $ ABE $ e $ CDE $ são semelhantes.

Dado que o perímetro do triângulo $ ABE $ é 72 cm, temos:

$$
AB + BE + AE = 72
$$

Sabemos que $ AB = 12 $ cm. Vamos chamar $ BE = y $ e $ AE = x $.

Assim, podemos escrever:

$$
12 + y + x = 72
$$

$$
x + y = 60
$$

Como os triângulos são semelhantes, a razão entre os lados correspondentes é a mesma:

$$
\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE} = \frac{AE}{CE}
$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$
\frac{12}{m} = \frac{y}{9} = \frac{x}{8}
$$

Vamos resolver cada proporção separadamente.

1. $\frac{12}{m} = \frac{y}{9}$

$$
12 \cdot 9 = m \cdot y \Rightarrow 108 = m \cdot y
$$

2. $\frac{12}{m} = \frac{x}{8}$

$$
12 \cdot 8 = m \cdot x \Rightarrow 96 = m \cdot x
$$

Agora, somando as equações dos produtos:

$$
m \cdot (x + y) = 108 + 96
$$

Como $ x + y = 60 $:

$$
m \cdot 60 = 204
$$

$$
m = \frac{204}{60} = 3.4
$$

Agora, usando $ m = 3.4 $ nas equações anteriores:

1. $ 108 = 3.4 \cdot y $

$$
y = \frac{108}{3.4} \approx 31.76
$$

2. $ 96 = 3.4 \cdot x $

$$
x = \frac{96}{3.4} \approx 28.24
$$

Portanto, as medidas são aproximadamente:

- $ x \approx 28.24 $ cm
- $ y \approx 31.76 $ cm
- $ m = 3.4 $ cm

19 Nesta figura, AB // CD. Sabendo que a medida de perímetro...