2) (FGV 2017) Um fazendeiro dispõe de material para construir 60 metros de cerca em uma região retangular, com um lado adjacente a um rio.

Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do retângulo adjacente ao rio, a área máxima da superfície que conseguirá cercar é

( ) 430 m²
( ) 440 m²
( ) 460 m²
( ) 470 m²

Question

2) (FGV 2017) Um fazendeiro dispõe de material para construir 60 metros de cerca em uma região retangular, com um lado adjacente a um rio.

Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do retângulo adjacente ao rio, a área máxima da superfície que conseguirá cercar é

( ) 430 m²
( ) 440 m²
( ) 460 m²
( ) 470 m²

Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos considerar que o lado do retângulo adjacente ao rio não precisa de cerca. Assim, a cerca será usada apenas nos outros três lados.

Seja $ x $ a largura do retângulo (paralela ao rio) e $ y $ o comprimento (perpendicular ao rio). A equação para o perímetro dos três lados que precisam de cerca é:

$$ x + 2y = 60 $$

Queremos maximizar a área $ A $ do retângulo, que é dada por:

$$ A = x \cdot y $$

Substituindo $ x $ da primeira equação na fórmula da área, temos:

$$ x = 60 - 2y $$

Substituindo na expressão da área:

$$ A = (60 - 2y) \cdot y $$
$$ A = 60y - 2y^2 $$

Para encontrar o valor de $ y $ que maximiza a área, derivamos a função da área em relação a $ y $ e igualamos a zero:

$$ \frac{dA}{dy} = 60 - 4y = 0 $$

Resolvendo para $ y $:

$$ 4y = 60 $$
$$ y = 15 $$

Substituindo $ y = 15 $ na equação $ x = 60 - 2y $:

$$ x = 60 - 2 \cdot 15 = 30 $$

Portanto, a área máxima é:

$$ A = x \cdot y = 30 \cdot 15 = 450 \, \text{m}^2 $$

**Resposta: 450 m²**

2) (FGV 2017) Um fazendeiro dispõe de material para construi...

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