2) (PUC/RJ - 2009) Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma de todos os térmos dessa prugressão arstmética é 480 . O décimo termo é igual a:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
3) Quantos termos tem na PG onde a1 $ =1 $, razão 3 e an $ =2187 $
4) Calcule três números em PG tais que sua soma seja 13 e seu produto 27
5) Analise a sequência a seguir:

Podemos afirmar que essa sequência é:
$$
(3,6,12,24,48,96 \ldots)
$$
A) uma progressão aritmética de razãò 2
B) uma progressão aritmética de razão 3
C) uma progressão geométrica de razão 2
D) uma progressão geom'étrica de razão 3
E) uma progressão geométrica de razão 4
6) Dada a sequência $ (-3,9,-27, \ldots) $, que forma uma progressão geométrica, o sétimo termo dessa progressão é:
7) Uma progressão geométrica é oscilante quando:
A) sua razão é um número entre 0 e 1.
B) súa razão é um número maior que 1 .
C) sua razão é um número menor que 1.
D) sua razão é um númerómènor que 0 .
E) sua razão é igual a 1 .

Question

2) (PUC/RJ - 2009) Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma de todos os térmos dessa prugressão arstmética é 480 . O décimo termo é igual a:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
3) Quantos termos tem na PG onde a1 $ =1 $, razão 3 e an $ =2187 $
4) Calcule três números em PG tais que sua soma seja 13 e seu produto 27
5) Analise a sequência a seguir:

Podemos afirmar que essa sequência é:
$$
(3,6,12,24,48,96 \ldots)
$$
A) uma progressão aritmética de razãò 2
B) uma progressão aritmética de razão 3
C) uma progressão geométrica de razão 2
D) uma progressão geom'étrica de razão 3
E) uma progressão geométrica de razão 4
6) Dada a sequência $ (-3,9,-27, \ldots) $, que forma uma progressão geométrica, o sétimo termo dessa progressão é:
7) Uma progressão geométrica é oscilante quando:
A) sua razão é um número entre 0 e 1.
B) súa razão é um número maior que 1 .
C) sua razão é um número menor que 1.
D) sua razão é um númerómènor que 0 .
E) sua razão é igual a 1 .

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão uma a uma:

**2) (PUC/RJ - 2009)**

Temos uma progressão aritmética (PA) de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa PA é 480. O décimo termo é igual a:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24

Para resolver, usamos a fórmula da soma dos termos de uma PA:
$$
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
$$
onde $ S_n $ é a soma dos n termos, $ a_1 $ é o primeiro termo e $ a_n $ é o enésimo termo.

Substituindo os valores:
$$
480 = \frac{20}{2} \cdot (5 + a_{20})
$$
$$
480 = 10 \cdot (5 + a_{20})
$$
$$
480 = 50 + 10a_{20}
$$
$$
430 = 10a_{20}
$$
$$
a_{20} = 43
$$

Agora, usamos a fórmula do enésimo termo de uma PA:
$$
a_n = a_1 + (n-1)d
$$
Para encontrar a razão $ d $:
$$
43 = 5 + (20-1)d
$$
$$
43 = 5 + 19d
$$
$$
38 = 19d
$$
$$
d = 2
$$

Agora podemos encontrar o décimo termo:
$$
a_{10} = 5 + (10-1) \cdot 2
$$
$$
a_{10} = 5 + 18
$$
$$
a_{10} = 23
$$

**Resposta: D**

**3) Quantos termos tem na PG onde $ a_1 = 1 $, razão 3 e $ a_n = 2187 $**

Usamos a fórmula do enésimo termo de uma PG:
$$
a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}
$$
Substituindo os valores:
$$
2187 = 1 \cdot 3^{(n-1)}
$$
$$
2187 = 3^{(n-1)}
$$

Para encontrar $ n $, resolvemos a equação exponencial:
$$
3^7 = 2187
$$
Portanto,
$$
n-1 = 7
$$
$$
n = 8
$$

**Resposta: 8 termos**

**4) Calcule três números em PG tais que sua soma seja 13 e seu produto 27**

Seja a, ar, ar² os três termos da PG. Temos:
$$
a + ar + ar^2 = 13
$$
$$
a \cdot ar \cdot ar^2 = 27
$$
$$
a^3r^3 = 27
$$
$$
(a \cdot r)^3 = 27
$$
$$
a \cdot r = 3
$$
$$
a = \frac{3}{r}
$$

Substituímos $ a $ na primeira equação:
$$
\frac{3}{r} + 3 + 3r = 13
$$
Multiplicamos tudo por $ r $:
$$
3 + 3r^2 + 9r = 13r
$$
$$
3r^2 - 10r + 3 = 0
$$

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
$$
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Aqui, $ a = 3, b = -10, c = 3 $:
$$
r = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}
$$
$$
r = \frac{10 \pm 8}{6}
$$
$$
r = 3 \quad \text{ou} \quad r = \frac{1}{3}
$$

Se $ r = 3 $:
$$
a = 1
$$
Os termos são 1, 3, 9.

Se $ r = \frac{1}{3} $:
$$
a = 9
$$
Os termos são 9, 3, 1.

**Resposta: 1, 3, 9 ou 9, 3, 1**

**5) Analise a sequência a seguir:**
$$
(3, 6, 12, 24, 48, 96, \ldots)
$$

Podemos afirmar que essa sequência é:
A) uma progressão aritmética de razão 2
B) uma progressão aritmética de razão 3
C) uma progressão geométrica de razão 2
D) uma progressão geométrica de razão 3
E) uma progressão geométrica de razão 4

Observando a sequência, notamos que cada termo é o dobro do anterior. Portanto, é uma PG de razão 2.

**Resposta: C**

**6) Dada a sequência $ (-3, 9, -27, \ldots) $, que forma uma progressão geométrica, o sétimo termo dessa progressão é:**

Usamos a fórmula do enésimo termo de uma PG:
$$
a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}
$$

Aqui, $ a_1 = -3 $ e $ r = -3 $:
$$
a_7 = -3 \cdot (-3)^{6}
$$
$$
a_7 = -3 \cdot 729
$$
$$
a_7 = -2187
$$

**Resposta: -2187**

**7) Uma progressão geométrica é oscilante quando:**
A) sua razão é um número entre 0 e 1.
B) súa razão é um número maior que 1.
C) sua razão é um número menor que 1.
D) sua razão é um número menor que 0.
E) sua razão é igual a 1.

Uma PG é oscilante quando sua razão é negativa.

**Resposta: D**

2) (PUC/RJ - 2009) Temos uma progressão aritmética de 20 ter...

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