2.35 A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por

u

u
mdx

= 1 - (2y/h)²

na qual h é a distância que separa as placas, e a origem está situada na linha mediane entre as placas. Considere um escoamento de água a 15°C, com u
md = 0,10 m/s e h = 0,1 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.

Question

2.35 A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por

u

u
mdx

= 1 - (2y/h)²

na qual h é a distância que separa as placas, e a origem está situada na linha mediane entre as placas. Considere um escoamento de água a 15°C, com u
md = 0,10 m/s e h = 0,1 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal.

Accepted Answer

Para determinar o sentido da tensão de cisalhamento na placa superior, precisamos analisar a distribuição de velocidade e como ela influencia o gradiente de velocidade.

### Passos para calcular a tensão de cisalhamento:

1. **Distribuição de Velocidade:**
   A equação dada é:
   $$
   \frac{u}{u_{mdx}} = 1 - \left(\frac{2y}{h}\right)^2
   $$
   onde $ u_{mdx} = 0{,}10 \, \text{m/s} $ e $ h = 0{,}1 \, \text{mm} = 0{,}0001 \, \text{m} $.

2. **Gradiente de Velocidade:**
   Calcule o gradiente de velocidade em relação a $ y $:
   $$
   \frac{du}{dy} = -\frac{d}{dy}\left(u_{mdx} \left(\frac{2y}{h}\right)^2\right) = -u_{mdx} \cdot \frac{4y}{h^2}
   $$

3. **Tensão de Cisalhamento ($ \tau $):**
   A tensão de cisalhamento é dada por:
   $$
   \tau = \mu \frac{du}{dy}
   $$
   onde $ \mu $ é a viscosidade dinâmica da água a 15°C (aproximadamente $ 1{,}14 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s} $).

4. **Cálculo na Placa Superior ($ y = h/2 $):**
   $$
   \tau = -\mu \cdot u_{mdx} \cdot \frac{4(h/2)}{h^2} = -\mu \cdot u_{mdx} \cdot \frac{2}{h}
   $$

5. **Substituindo os Valores:**
   $$
   \tau = -1{,}14 \times 10^{-3} \, \text{Pa} \cdot \text{s} \times 0{,}10 \, \text{m/s} \times \frac{2}{0{,}0001 \, \text{m}}
   $$
   $$
   \tau = -2{,}28 \, \text{Pa}
   $$

### Sentido da Tensão de Cisalhamento:
O sinal negativo indica que a tensão de cisalhamento atua no sentido contrário ao da direção positiva de $ y $, ou seja, a tensão na placa superior é dirigida para baixo.

### Esboço da Variação da Tensão de Cisalhamento:
A tensão de cisalhamento varia linearmente com $ y $, sendo máxima nas placas e zero no centro entre as placas. O sinal negativo indica que a direção da força de cisalhamento é oposta ao aumento de $ y $.

2.35 A distribuição de velocidade para o escoamento laminar ...

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