2- Determine os valores de a e b reais para os quais ocorre a igualdade:

a) \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+1} = \frac{2x-7}{x-2}

Question

2- Determine os valores de a e b reais para os quais ocorre a igualdade:

a) \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+1} = \frac{2x-7}{x-2}

Accepted Answer

Para resolver a equação dada, precisamos encontrar os valores de $a$ e $b$ que satisfazem a igualdade:

$$
\frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+1} = \frac{2x-7}{x-2}
$$

Primeiro, vamos encontrar um denominador comum para os termos do lado esquerdo da equação, que é $(x-2)(x+1)$. Reescrevendo a equação, temos:

$$
\frac{a(x+1) + b(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{2x-7}{x-2}
$$

Para simplificar, multiplicamos ambos os lados da equação por $(x-2)(x+1)$:

$$
a(x+1) + b(x-2) = (2x-7)(x+1)
$$

Expandindo ambos os lados:

$$
ax + a + bx - 2b = 2x^2 + 2x - 7x - 7
$$

$$
(ax + bx) + (a - 2b) = 2x^2 - 5x - 7
$$

Agrupando os termos semelhantes:

$$
(a+b)x + (a-2b) = 2x^2 - 5x - 7
$$

Comparando os coeficientes, temos:

1. $a + b = 0$
2. $a - 2b = -5$

Resolvendo o sistema de equações:

Da primeira equação: $a = -b$.

Substituindo na segunda equação:

$$
-a - 2b = -5
$$

$$
-b - 2b = -5
$$

$$
-3b = -5 \Rightarrow b = \frac{5}{3}
$$

Substituindo $b$ na equação $a = -b$:

$$
a = -\frac{5}{3}
$$

Portanto, os valores de $a$ e $b$ são:

$a = -\frac{5}{3}$ e $b = \frac{5}{3}$.

2- Determine os valores de a e b reais para os quais ocorre ...