2- Duas pequenas esferas metálicas iguais são suspensas de um ponto 0 por dois fios isolantes de mesmo comprimento \( L=0,5 \mathrm{~m} \). As esferas săo igualmente eletrizadas com carga \( Q=1,0 \mu C \). Sabendo-se que, na posição de equilibrio, os fios formam com a vertical ângulos de \( 45^{\circ} \), determine o peso de cada esfera. O meio é o vácuo, cuja constante é \( k_{0}=9.10^{9} \frac{\mathrm{Nm}^{2}}{c^{2}} \).

Para determinar o peso de cada esfera, vamos analisar as forças que atuam sobre uma das esferas. As forças são:

1. Força elétrica de repulsão entre as duas esferas, que podemos calcular usando a Lei de Coulomb.
2. Peso da esfera, que atua verticalmente para baixo.
3. Tensão no fio, que é a força que mantém a esfera suspensa e equilibra as outras duas forças.

O diagrama de corpo livre da esfera mostra que a força elétrica e o peso se combinam para produzir uma resultante que é equilibrada pela tensão do fio. A tensão do fio tem componentes vertical e horizontal.

Dado que os fios formam um ângulo de $45^\circ$ com a vertical, a distância horizontal $d$ entre as esferas no ponto de equilíbrio pode ser encontrada usando trigonometria básica no triângulo formado pelos fios e a linha que une o ponto de suspensão ao ponto médio entre as esferas. Como os ângulos formados pelos fios com a vertical são iguais e de $45^\circ$, o triângulo é isósceles, e a distância $d$ entre as esferas é igual a $L\sqrt{2}$, onde $L$ é o comprimento do fio.

A força elétrica ($F_e$) entre as esferas é dada por:

$$F_e = \frac{k_0 Q^2}{d^2}$$

Substituindo $d = L\sqrt{2}$:

$$F_e = \frac{k_0 Q^2}{(L\sqrt{2})^2} = \frac{k_0 Q^2}{2L^2}$$

Substituindo os valores dados:

$$F_e = \frac{9 \times 10^9 \times (1.0 \times 10^{-6})^2}{2 \times (0.5)^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1.0 \times 10^{-12}}{0.5} = \frac{9 \times 10^{-3}}{0.5} = 18 \times 10^{-3} \, \text{N} = 18 \, \text{mN}$$

Agora, considerando o equilíbrio na direção vertical, a componente vertical da tensão é igual ao peso da esfera ($P$). Usando a relação de ângulos, sabemos que a componente vertical da tensão é $F_e \cos(45^\circ)$, pois $F_e$ atua ao longo da hipotenusa do triângulo formado pela tensão e suas componentes. Então:

$$P = F_e \cos(45^\circ)$$

Como $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, temos:

$$P = 18 \times 10^{-3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 18 \times 10^{-3} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 18 \times 10^{-3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 12.7 \times 10^{-3} \, \text{N}$$

Portanto, o peso de cada esfera é aproximadamente $12.7 \, \text{mN}$.