2- Em um poliedro convexo, o número de vértices é 5 e o de arestas é 10. Qual é o número de faces?
3- Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é fulal ao número de vértices. Quantas faces tem c. oliedro?
4- Um poliedro convexo apresenta 1 face hexagonal, 6 faces triangulares e 12 arestas. Quantos vértices tem esse poliedro?
5- Qual é o número de faces de um poliedro convexo de 20 vértices tal que em cada vértice concorrem 5 arestas?
6- Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face

Question

Accepted Answer

Para resolver esses problemas, usaremos a fórmula de Euler para poliedros convexos, que é dada por:

$$ V - E + F = 2 $$

onde:
- $ V $ é o número de vértices,
- $ E $ é o número de arestas,
- $ F $ é o número de faces.

Vamos resolver cada questão uma por uma:

### Questão 2
**Em um poliedro convexo, o número de vértices é 5 e o de arestas é 10. Qual é o número de faces?**

Dado:
$$ V = 5 $$
$$ E = 10 $$

Usando a fórmula de Euler:
$$ V - E + F = 2 $$
$$ 5 - 10 + F = 2 $$
$$ F = 2 + 10 - 5 $$
$$ F = 7 $$

**Resposta: 7 faces**

### Questão 3
**Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem o poliedro?**

Dado:
$$ E = 20 $$
$$ V = F $$

Usando a fórmula de Euler:
$$ V - E + F = 2 $$
Como $ V = F $, substituímos:
$$ F - 20 + F = 2 $$
$$ 2F - 20 = 2 $$
$$ 2F = 22 $$
$$ F = 11 $$

**Resposta: 11 faces**

### Questão 4
**Um poliedro convexo apresenta 1 face hexagonal, 6 faces triangulares e 12 arestas. Quantos vértices tem esse poliedro?**

Dado:
$$ F_{\text{hex}} = 1 $$
$$ F_{\text{tri}} = 6 $$
$$ E = 12 $$

O número total de faces $ F $ é:
$$ F = 1 + 6 = 7 $$

Usando a fórmula de Euler:
$$ V - E + F = 2 $$
$$ V - 12 + 7 = 2 $$
$$ V - 5 = 2 $$
$$ V = 7 $$

**Resposta: 7 vértices**

### Questão 5
**Qual é o número de faces de um poliedro convexo de 20 vértices tal que em cada vértice concorrem 5 arestas?**

Dado:
$$ V = 20 $$
Cada vértice tem 5 arestas, então o número total de arestas $ E $ é:
$$ E = \frac{20 \times 5}{2} = 50 $$

Usando a fórmula de Euler:
$$ V - E + F = 2 $$
$$ 20 - 50 + F = 2 $$
$$ F = 2 + 50 - 20 $$
$$ F = 32 $$

**Resposta: 32 faces**

### Questão 6
**Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares e 1 face quadrada.**

Dado:
$$ F_{\text{tri}} = 3 $$
$$ F_{\text{quad}} = 1 $$

O número total de faces $ F $ é:
$$ F = 3 + 1 = 4 $$

Para encontrar o número de arestas $ E $, somamos as arestas de todas as faces e dividimos por 2 (porque cada aresta é compartilhada por duas faces):
$$ E = \frac{(3 \times 3) + 4}{2} = \frac{9 + 4}{2} = \frac{13}{2} $$

Isso indica que há um erro nos dados fornecidos, pois $ E $ deve ser um número inteiro. Verifique os dados da questão.

Se considerarmos um poliedro com 3 faces triangulares e 1 face quadrada, como exemplo, um tetraedro truncado, teríamos:
$$ V - E + F = 2 $$
$$ V - E + 4 = 2 $$

Mas sem um número consistente de arestas, não podemos resolver corretamente. Por favor, revise os dados fornecidos.