2. (Fgv) Se a terna ordenada (a, b, c), de números reais, é solução do sistema
{ x + y - z = 0
x - y + z = 2
2x + y - 3z = 1,
então a soma a + b + c é igual a:

Q: 2. (Fgv) Se a terna ordenada (a, b, c), de números reais, é solução do sistema { x + y - z = 0 x - y + z = 2 2x + y - 3z = 1, então a soma a + b + c é igual a:

Para resolver o sistema de equações: \[ \begin{cases} x + y - z = 0 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + y - 3z = 1 \end{cases} \] Podemos seguir os seguintes passos: 1. **Somar as duas primeiras equações para eliminar $y$ e $z$:** \[ (x + y - z) + (x - y + z) = 0 + 2 \implies 2x = 2 \implies x = 1 \] 2. **Substituir $x = 1$ na primeira e segunda equação:** - Primeira equação: \[ 1 + y - z = 0 \implies y - z = -1 \quad (i) \] - Segunda equação: \[ 1 - y + z = 2 \implies -y + z = 1 \quad (ii) \] 3. **Somar as equações (i) e (ii) para eliminar $z$:** \[ (y - z) + (-y + z) = -1 + 1 \implies 0 = 0 \] Isso confirma que as equações são consistentes. 4. **Subtrair a equação (ii) da equação (i):** \[ (y - z) - (-y + z) = -1 - 1 \implies 2y - 2z = -2 \implies y - z = -1 \] Que já tínhamos, então está correto. 5. **Substituir $x = 1$ na terceira equação para encontrar $z$:** \[ 2(1) + y - 3z = 1 \implies 2 + y - 3z = 1 \implies y - 3z = -1 \quad (iii) \] 6. **Resolver o sistema com as equações (i) e (iii):** \[ \begin{cases} y - z = -1 \\ y - 3z = -1 \end{cases} \] Subtraindo a primeira da segunda: \[ (y - 3z) - (y - z) = -1 + 1 \implies -2z = 0 \implies z = 0 \] 7. **Substituir $z = 0$ em $y - z = -1$:** \[ y - 0 = -1 \implies y = -1 \] Portanto, a solução é $ (x, y, z) = (1, -1, 0) $. A soma $a + b + c = x + y + z = 1 - 1 + 0 = 0$. **Resposta: 0**

Question

2. (Fgv) Se a terna ordenada (a, b, c), de números reais, é solução do sistema
{ x + y - z = 0
  x - y + z = 2
  2x + y - 3z = 1,
então a soma a + b + c é igual a:

Accepted Answer

Para resolver o sistema de equações:

$$
\begin{cases}
x + y - z = 0 \
x - y + z = 2 \
2x + y - 3z = 1
\end{cases}
$$

Podemos seguir os seguintes passos:

1. **Somar as duas primeiras equações para eliminar $y$ e $z$:**

$$
   (x + y - z) + (x - y + z) = 0 + 2 \implies 2x = 2 \implies x = 1
   $$

2. **Substituir $x = 1$ na primeira e segunda equação:**

- Primeira equação: 
     $$
     1 + y - z = 0 \implies y - z = -1 \quad (i)
     $$

- Segunda equação:
     $$
     1 - y + z = 2 \implies -y + z = 1 \quad (ii)
     $$

3. **Somar as equações (i) e (ii) para eliminar $z$:**

$$
   (y - z) + (-y + z) = -1 + 1 \implies 0 = 0
   $$

Isso confirma que as equações são consistentes.

4. **Subtrair a equação (ii) da equação (i):**

$$
   (y - z) - (-y + z) = -1 - 1 \implies 2y - 2z = -2 \implies y - z = -1
   $$

Que já tínhamos, então está correto.

5. **Substituir $x = 1$ na terceira equação para encontrar $z$:**

$$
   2(1) + y - 3z = 1 \implies 2 + y - 3z = 1 \implies y - 3z = -1 \quad (iii)
   $$

6. **Resolver o sistema com as equações (i) e (iii):**

$$
   \begin{cases}
   y - z = -1 \
   y - 3z = -1
   \end{cases}
   $$

Subtraindo a primeira da segunda:

$$
   (y - 3z) - (y - z) = -1 + 1 \implies -2z = 0 \implies z = 0
   $$

7. **Substituir $z = 0$ em $y - z = -1$:**

$$
   y - 0 = -1 \implies y = -1
   $$

Portanto, a solução é $ (x, y, z) = (1, -1, 0) $.

A soma $a + b + c = x + y + z = 1 - 1 + 0 = 0$.

**Resposta: 0**