2. Qual a condição que deve verificar o número m, para que o ponto A(4, 3) seja externo à circunferência de equação x² + y² - 4x - 2y + m = 0?

Q: 2. Qual a condição que deve verificar o número m, para que o ponto A(4, 3) seja externo à circunferência de equação x² + y² - 4x - 2y + m = 0?

Para determinar a condição que o número $ m $ deve satisfazer para que o ponto $ A(4, 3) $ seja externo à circunferência dada pela equação: \[ x^2 + y^2 - 4x - 2y + m = 0, \] devemos primeiro reescrever a equação da circunferência na forma padrão $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. 1. **Completar os quadrados:** - Para $ x $: \[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \] - Para $ y $: \[ y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 \] 2. **Substituir na equação original:** \[ (x - 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + m = 0 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5 - m \] Aqui, $(h, k) = (2, 1)$ e o raio $ r = \sqrt{5 - m} $. 3. **Condição para o ponto ser externo:** O ponto $ A(4, 3) $ será externo à circunferência se a distância do ponto ao centro for maior que o raio. - Distância do ponto $ A(4, 3) $ ao centro $ (2, 1) $: \[ d = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] - Condição para ser externo: \[ 2\sqrt{2} > \sqrt{5 - m} \] Elevando ambos os lados ao quadrado: \[ 8 > 5 - m \] \[ m > -3 \] Portanto, a condição para que o ponto $ A(4, 3) $ seja externo à circunferência é $ m > -3 $.

Question

Accepted Answer

Para determinar a condição que o número $ m $ deve satisfazer para que o ponto $ A(4, 3) $ seja externo à circunferência dada pela equação:

$$ x^2 + y^2 - 4x - 2y + m = 0, $$

devemos primeiro reescrever a equação da circunferência na forma padrão $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.

1. **Completar os quadrados:**

- Para $ x $: 
     $$
     x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
     $$

- Para $ y $: 
     $$
     y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
     $$

2. **Substituir na equação original:**

$$
   (x - 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + m = 0
   $$

$$
   (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5 - m
   $$

Aqui, $(h, k) = (2, 1)$ e o raio $ r = \sqrt{5 - m} $.

3. **Condição para o ponto ser externo:**

O ponto $ A(4, 3) $ será externo à circunferência se a distância do ponto ao centro for maior que o raio.

- Distância do ponto $ A(4, 3) $ ao centro $ (2, 1) $:

$$
     d = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
     $$

- Condição para ser externo:

$$
     2\sqrt{2} > \sqrt{5 - m}
     $$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$$
   8 > 5 - m
   $$

$$
   m > -3
   $$

Portanto, a condição para que o ponto $ A(4, 3) $ seja externo à circunferência é $ m > -3 $.

2. Qual a condição que deve verificar o número m, para que o...

Qual a condição que deve verificar o número m, para que o ponto A(4, 3) seja externo à circunferência de equação x² + y² - 4x - 2y + m = 0?

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