2. Seja f: I → R uma função monótona, definida no intervalo I. Se a imagem f(I) é um intervalo, prove que f é contínua.
J
João
11/11/24

Q: 2. Seja f: I → R uma função monótona, definida no intervalo I. Se a imagem f(I) é um intervalo, prove que f é contínua.

Para provar que $ f $ é contínua, dado que $ f: I \to \mathbb{R} $ é uma função monótona e a imagem $ f(I) $ é um intervalo, podemos usar o seguinte argumento: ### Prova: 1. **Definição de Monotonicidade:** - Se $ f $ é monótona, ela pode ser crescente ou decrescente. 2. **Propriedade de Intervalo:** - A imagem $ f(I) $ sendo um intervalo significa que, para quaisquer $ a, b \in I $ com $ a < b $, todos os valores entre $ f(a) $ e $ f(b) $ também estão em $ f(I) $. 3. **Continuidade de Funções Monótonas:** - Uma função monótona definida em um intervalo é contínua se não houver saltos (discontinuidades do tipo salto). - Suponha, por contradição, que $ f $ tenha uma descontinuidade em algum ponto $ c \in I $. - Como $ f $ é monótona e $ f(I) $ é um intervalo, qualquer valor entre $ \lim_{x \to c^-} f(x) $ e $ \lim_{x \to c^+} f(x) $ deve estar na imagem de $ f $, o que implica que $ f(c) $ também deve estar entre esses limites. - Isso contradiz a suposição de que $ f $ tem uma descontinuidade em $ c $. 4. **Conclusão:** - Portanto, $ f $ deve ser contínua em todo o intervalo $ I $. Assim, provamos que se $ f $ é uma função monótona cuja imagem é um intervalo, então $ f $ é contínua.

Question

2. Seja f: I → R uma função monótona, definida no intervalo I. Se a imagem f(I) é um intervalo, prove que f é contínua.

Accepted Answer

Para provar que $ f $ é contínua, dado que $ f: I \to \mathbb{R} $ é uma função monótona e a imagem $ f(I) $ é um intervalo, podemos usar o seguinte argumento:

### Prova:

1. **Definição de Monotonicidade:**
   - Se $ f $ é monótona, ela pode ser crescente ou decrescente.

2. **Propriedade de Intervalo:**
   - A imagem $ f(I) $ sendo um intervalo significa que, para quaisquer $ a, b \in I $ com $ a < b $, todos os valores entre $ f(a) $ e $ f(b) $ também estão em $ f(I) $.

3. **Continuidade de Funções Monótonas:**
   - Uma função monótona definida em um intervalo é contínua se não houver saltos (discontinuidades do tipo salto). 
   - Suponha, por contradição, que $ f $ tenha uma descontinuidade em algum ponto $ c \in I $.
   - Como $ f $ é monótona e $ f(I) $ é um intervalo, qualquer valor entre $ \lim_{x \to c^-} f(x) $ e $ \lim_{x \to c^+} f(x) $ deve estar na imagem de $ f $, o que implica que $ f(c) $ também deve estar entre esses limites.
   - Isso contradiz a suposição de que $ f $ tem uma descontinuidade em $ c $.

4. **Conclusão:**
   - Portanto, $ f $ deve ser contínua em todo o intervalo $ I $.

Assim, provamos que se $ f $ é uma função monótona cuja imagem é um intervalo, então $ f $ é contínua.