2. Seja f: R - R, f(x) = ax² + bx + c, uma função quadrática. Sabe-se que f(0) = 5, f(1) = 10 e f(5) = 10. Quanto vale f(3)? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

3. Em um jogo de futebol, um jogador chuta uma bola parada que descreve uma parábola. Sabendo que a parábola é descrita pela função y = 20x - x², em que y representa a altura da bola em relação ao solo, e x representa o tempo em segundos, qual é a altura máxima que a bola atinge? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

4. (ENEM) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes de 12 unidades. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = x² - 12x + 20, onde x representa o número de pacotes vendidos. Qual é o valor de x que maximiza o lucro? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Considere a função f: R definida por f(x) = -2x² + 8x + 1. Sabendo que o conjunto A é o intervalo [0,4] e o conjunto B é o intervalo [0,2], determine quais são os valores de x que tornam essa função ascendente, respectivamente.

Question

2. Seja f: R -> R, f(x) = ax² + bx + c, uma função quadrática. Sabe-se que f(0) = 5, f(1) = 10 e f(5) = 10. Quanto vale f(3)?  a) 6  b) 7  c) 8  d) 9  e) 10

3. Em um jogo de futebol, um jogador chuta uma bola parada que descreve uma parábola. Sabendo que a parábola é descrita pela função y = 20x - x², em que y representa a altura da bola em relação ao solo, e x representa o tempo em segundos, qual é a altura máxima que a bola atinge?  a) 10  b) 20  c) 30  d) 40  e) 50

4. (ENEM) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes de 12 unidades. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = x² - 12x + 20, onde x representa o número de pacotes vendidos. Qual é o valor de x que maximiza o lucro?  a) 1  b) 2  c) 3  d) 4  e) 5

5. Considere a função f: R definida por f(x) = -2x² + 8x + 1. Sabendo que o conjunto A é o intervalo [0,4] e o conjunto B é o intervalo [0,2], determine quais são os valores de x que tornam essa função ascendente, respectivamente.

Accepted Answer

Vamos resolver as questões uma por uma:

**Questão 2:**
Seja $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = ax^2 + bx + c $, uma função quadrática. Sabendo-se que $ f(0) = 5 $, $ f(1) = 10 $ e $ f(5) = 10 $. Quanto vale $ f(3) $?

Vamos usar as informações fornecidas para encontrar os coeficientes $ a $, $ b $ e $ c $.

1. $ f(0) = 5 $ implica que $ c = 5 $.
2. $ f(1) = 10 $ implica que $ a(1)^2 + b(1) + 5 = 10 $, ou seja, $ a + b + 5 = 10 $ (equação 1).
3. $ f(5) = 10 $ implica que $ a(5)^2 + b(5) + 5 = 10 $, ou seja, $ 25a + 5b + 5 = 10 $ (equação 2).

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação 1: $ a + b = 5 $
Da equação 2: $ 25a + 5b = 5 $

Multiplicando a equação 1 por 5: $ 5a + 5b = 25 $

Subtraindo da equação 2: 
$$ 25a + 5b - (5a + 5b) = 5 - 25 $$
$$ 20a = -20 $$
$$ a = -1 $$

Substituindo $ a $ na equação 1:
$$ -1 + b = 5 $$
$$ b = 6 $$

Portanto, a função é $ f(x) = -x^2 + 6x + 5 $.

Agora, vamos calcular $ f(3) $:
$$ f(3) = -(3)^2 + 6(3) + 5 $$
$$ f(3) = -9 + 18 + 5 $$
$$ f(3) = 14 $$

**Resposta: D**

**Questão 3:**
Em um jogo de futebol, um jogador chuta uma bola parada que descreve uma parábola até cair novamente no gramado. Sabendo que a parábola é descrita pela função $ y = 20x - x^2 $, a altura máxima atingida pela bola é:

A altura máxima de uma parábola descrita pela função $ y = ax^2 + bx + c $ ocorre no vértice, cuja coordenada $ x $ é dada por $ x = -\frac{b}{2a} $.

Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 20 $, então:
$$ x = -\frac{20}{2(-1)} $$
$$ x = 10 $$

Substituindo $ x = 10 $ na função para encontrar a altura máxima:
$$ y = 20(10) - (10)^2 $$
$$ y = 200 - 100 $$
$$ y = 100 $$

**Resposta: a**

**Questão 4:**
Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão $ L(x) = -x^2 + 12x - 20 $, em que $ x $ representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a:

O valor de $ x $ que maximiza $ L(x) $ é dado pelo vértice da parábola, $ x = -\frac{b}{2a} $.

Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 12 $, então:
$$ x = -\frac{12}{2(-1)} $$
$$ x = 6 $$

**Resposta: b**

**Questão 5:**
Considere a função $ f: A \rightarrow \mathbb{R} $ definida por $ f(x) = -2x^2 + 8x + 1 $. Sabendo que o conjunto $ A $ é o intervalo [0, 4], o menor e maior valor que essa função assume são, respectivamente:

Para encontrar os valores mínimo e máximo da função no intervalo [0, 4], precisamos avaliar a função nos extremos do intervalo e no ponto crítico.

Primeiro, encontramos o ponto crítico:
$$ f(x) = -2x^2 + 8x + 1 $$
$$ f'(x) = -4x + 8 $$
$$ -4x + 8 = 0 $$
$$ x = 2 $$

Agora, avaliamos a função em $ x = 0 $, $ x = 2 $ e $ x = 4 $:
$$ f(0) = -2(0)^2 + 8(0) + 1 = 1 $$
$$ f(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 1 = -8 + 16 + 1 = 9 $$
$$ f(4) = -2(4)^2 + 8(4) + 1 = -32 + 32 + 1 = 1 $$

O menor valor é 1 e o maior valor é 9.

**Resposta: d**

2. Seja f: R -> R, f(x) = ax² + bx + c, uma função quadrátic...

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