2) Suponha uma fronteira de possibilidade de produção para os bens $ X $ e $ Y $ que é representada pela equação $ X^{2}+Y^{2}=100 $. Considere ainda que é possível definir uma função utilidade da coletividade dada por $ U(X, Y)= $ $ \operatorname{Min}\{2 X .2 Y\} $. Ache o equilíbrio dessa economia (quantidades e preços).

Question

Accepted Answer

Para encontrar o equilíbrio dessa economia, precisamos maximizar a função de utilidade sujeita à restrição imposta pela fronteira de possibilidade de produção.

### Passo 1: Definir a Função de Utilidade

A função de utilidade é dada por:

$$ U(X, Y) = \operatorname{Min}\{2X, 2Y\} $$

### Passo 2: Definir a Restrição

A restrição da fronteira de possibilidade de produção é:

$$ X^2 + Y^2 = 100 $$

### Passo 3: Resolver a Restrição para uma Variável

Vamos expressar $ Y $ em termos de $ X $:

$$ Y = \sqrt{100 - X^2} $$

### Passo 4: Maximizar a Função de Utilidade

Para maximizar a função de utilidade $ U(X, Y) $, precisamos que os dois argumentos da função "min" sejam iguais, ou seja:

$$ 2X = 2Y $$
$$ X = Y $$

Substituímos $ Y $ na equação da fronteira de possibilidade de produção:

$$ X^2 + X^2 = 100 $$
$$ 2X^2 = 100 $$
$$ X^2 = 50 $$
$$ X = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$

Como $ X = Y $, então:

$$ Y = 5\sqrt{2} $$

### Passo 5: Determinar os Preços

Para determinar os preços, consideramos que no equilíbrio os preços são proporcionais às taxas marginais de substituição (TMS). A TMS é derivada da função utilidade e indica a taxa à qual os consumidores estão dispostos a trocar um bem pelo outro.

Para a função de utilidade $ U(X, Y) = \operatorname{Min}\{2X, 2Y\} $, a TMS é constante e igual a 1, pois a utilidade é minimizada quando $ 2X = 2Y $.

Assim, os preços relativos $ p_X $ e $ p_Y $ devem ser iguais:

$$ p_X = p_Y $$

### Resultado Final

Portanto, o equilíbrio dessa economia ocorre nas quantidades:

$$ X = 5\sqrt{2} $$
$$ Y = 5\sqrt{2} $$

E os preços relativos dos bens $ X $ e $ Y $ são iguais:

$$ p_X = p_Y $$

2) Suponha uma fronteira de possibilidade de produção para o...

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