2 . Um prisma reto de base hexagonal regular tem a mesma altura de um prisma cuja base é um triângulo equilátero. Considere "a" a medida da aresta da base do prisma hexagonal e "c" a medida da aresta da base do prisma triangular. Se ambos os prismas têm o mesmo volume, então a razão a/c vale:
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Question

2 . Um prisma reto de base hexagonal regular tem a mesma altura de um prisma cuja base é um triângulo equilátero. Considere "a" a medida da aresta da base do prisma hexagonal e "c" a medida da aresta da base do prisma triangular. Se ambos os prismas têm o mesmo volume, então a razão a/c vale:

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Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular os volumes dos prismas e igualá-los.

1. **Prisma Hexagonal:**
   - Base hexagonal regular com aresta $ a $.
   - Área da base do hexágono: $ A_h = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 $.

2. **Prisma Triangular:**
   - Base triangular equilátera com aresta $ c $.
   - Área da base do triângulo: $ A_t = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2 $.

Ambos os prismas têm a mesma altura $ h $ e o mesmo volume:

$$ V_h = A_h \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \cdot h $$

$$ V_t = A_t \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2 \cdot h $$

Igualando os volumes:

$$ \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2 \cdot h $$

Cancelando $ h $ e simplificando:

$$ \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2 $$

Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:

$$ 6\sqrt{3}a^2 = \sqrt{3}c^2 $$

Dividindo ambos os lados por $\sqrt{3}$:

$$ 6a^2 = c^2 $$

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

$$ \sqrt{6}a = c $$

Portanto, a razão $ \frac{a}{c} $ é:

$$ \frac{a}{c} = \frac{1}{\sqrt{6}} $$

Simplificando, multiplicando numerador e denominador por $\sqrt{6}$:

$$ \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{6}}{6} $$

A razão correta é, portanto:

**Resposta: 1/6**