2) Um quadrado tem dois vértices opostos sobre os eixos coordenados. O seu perímetro é 12√2 e um desses vértices é (0; 6). Determine quais são os outros vértices e indique em qual quadrante cada um deles pertence.

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos seguir alguns passos lógicos. Primeiro, determinamos o comprimento do lado do quadrado usando a informação sobre o perímetro. Depois, localizamos os vértices do quadrado baseando-nos no vértice dado e na geometria do problema.

1. **Determinar o comprimento do lado do quadrado**

Sabemos que o perímetro $P$ de um quadrado é dado por $P = 4l$, onde $l$ é o comprimento do lado do quadrado. Dado que $P = 12\sqrt{2}$, temos:

$$12\sqrt{2} = 4l$$

Dividindo ambos os lados por 4, obtemos:

$$l = 3\sqrt{2}$$

2. **Localizar os outros vértices**

Sabendo que um dos vértices é $(0, 6)$ e que o quadrado tem dois vértices opostos sobre os eixos coordenados, podemos deduzir que este vértice está sobre o eixo y, e o outro vértice sobre os eixos coordenados deve estar sobre o eixo x.

Como o comprimento do lado do quadrado é $3\sqrt{2}$, e um vértice está em $(0, 6)$, os outros dois vértices (que não estão sobre os eixos coordenados) devem estar a uma distância de $3\sqrt{2}$ tanto na horizontal quanto na vertical a partir de $(0, 6)$.

- Um dos vértices estará a $3\sqrt{2}$ unidades para a direita (positivo no eixo x) e $3\sqrt{2}$ unidades para baixo (negativo no eixo y), uma vez que o quadrado precisa ter dois vértices sobre os eixos.
  
  Para calcular as coordenadas desse vértice, adicionamos $3\sqrt{2}$ a 0 no eixo x e subtraímos $3\sqrt{2}$ de 6 no eixo y:
  $$(0 + 3\sqrt{2}, 6 - 3\sqrt{2}) = (3\sqrt{2}, 6 - 3\sqrt{2})$$

- O vértice oposto sobre o eixo x será simplesmente a projeção deste ponto sobre o eixo x, o que significa que ele terá a mesma coordenada x do ponto acima, mas com coordenada y igual a 0:
  $$(3\sqrt{2}, 0)$$

Então, temos até agora:
- Vértice original: $(0, 6)$ no 2º quadrante.
- Vértice sobre o eixo x: $(3\sqrt{2}, 0)$ no 1º quadrante.
- Outro vértice: $(3\sqrt{2}, 6 - 3\sqrt{2})$.

Para encontrar o quarto vértice, que é o oposto de $(0, 6)$ no quadrado, basta projetar esse ponto no eixo y, mantendo a mesma distância $3\sqrt{2}$ na horizontal, mas agora partindo do ponto $(3\sqrt{2}, 0)$. Isso nos dá um ponto com coordenada x igual a 0 (já que é uma projeção sobre o eixo y) e coordenada y igual a $6 - 3\sqrt{2}$ (a mesma coordenada y do terceiro ponto):
- Vértice oposto ao original: $(0, 6 - 3\sqrt{2})$

Portanto, os vértices do quadrado são:
- $(0, 6)$ no 2º quadrante.
- $(3\sqrt{2}, 0)$ no 1º quadrante.
- $(3\sqrt{2}, 6 - 3\sqrt{2})$ dependendo do valor de $3\sqrt{2}$, pode estar no 1º ou 4º quadrante.
- $(0, 6 - 3\sqrt{2})$ no 2º ou 3º quadrante, dependendo do valor de $3\sqrt{2}$.

Note que $3\sqrt{2}$ é aproximadamente 4.24, então $6 - 3\sqrt{2}$ é positivo, o que coloca o último ponto no 2º quadrante e o terceiro ponto no 1º quadrante.

2) Um quadrado tem dois vértices opostos sobre os eixos coor...

Um quadrado tem dois vértices opostos sobre os eixos coordenados. O seu perímetro é 12√2 e um desses vértices é (0; 6). Determine quais são os outros vértices e indique em qual quadrante cada um deles pertence.

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