2. Um triângulo ABC é retângulo em A. Sua hipotenusa mede 26 cm e a soma das medidas dos catetos é igual a 34 cm.

a) Determine as medidas dos catetos.
b) Determine as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Question

2. Um triângulo ABC é retângulo em A. Sua hipotenusa mede 26 cm e a soma das medidas dos catetos é igual a 34 cm.

a) Determine as medidas dos catetos.
b) Determine as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar as informações fornecidas:

1. A hipotenusa $ c = 26 $ cm.
2. A soma dos catetos $ a + b = 34 $ cm.

### a) Determinar as medidas dos catetos

Usamos o Teorema de Pitágoras:

$$
a^2 + b^2 = c^2
$$

Substituindo os valores:

$$
a^2 + b^2 = 26^2 = 676
$$

Sabemos também que:

$$
a + b = 34
$$

Podemos expressar $ b $ em termos de $ a $:

$$
b = 34 - a
$$

Substituímos na equação do Teorema de Pitágoras:

$$
a^2 + (34 - a)^2 = 676
$$

Expandindo:

$$
a^2 + (34 - a)^2 = a^2 + 1156 - 68a + a^2 = 676
$$

$$
2a^2 - 68a + 1156 = 676
$$

Simplificando:

$$
2a^2 - 68a + 480 = 0
$$

Dividindo por 2:

$$
a^2 - 34a + 240 = 0
$$

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

$$
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Onde $ a = 1 $, $ b = -34 $, $ c = 240 $.

$$
a = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240}}{2 \cdot 1}
$$

$$
a = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 960}}{2}
$$

$$
a = \frac{34 \pm \sqrt{196}}{2}
$$

$$
a = \frac{34 \pm 14}{2}
$$

As soluções são:

$$
a = \frac{48}{2} = 24 \quad \text{ou} \quad a = \frac{20}{2} = 10
$$

Portanto, os catetos são $ a = 24 $ cm e $ b = 10 $ cm ou vice-versa.

### b) Determinar as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa

As projeções dos catetos sobre a hipotenusa podem ser encontradas usando as relações:

Seja $ h_a $ a projeção de $ a $ e $ h_b $ a projeção de $ b $:

$$
h_a = \frac{a^2}{c} \quad \text{e} \quad h_b = \frac{b^2}{c}
$$

Para $ a = 24 $ e $ b = 10 $:

$$
h_a = \frac{24^2}{26} = \frac{576}{26} \approx 22.15
$$

$$
h_b = \frac{10^2}{26} = \frac{100}{26} \approx 3.85
$$

Portanto, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa são aproximadamente 22,15 cm e 3,85 cm.

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